XXVI - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

III

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 wybrano skończony zbiór odcinków w taki sposób, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków. Czy można wybrać ten zbiór odcinków tak, aby ich łączna długość była mniejsza niż $1 + \sqrt{3}$ ?

Rozwiązanie

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości $1$ można tak wybrać skończony zbiór odcinków, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków oraz łączna długość odcinków należących do tego zbioru jest mniejsza od $1 + \sqrt{3}$ .

Rozważmy mianowicie romb $ABDC$ powstający z rozwinięcia na płaszczyźnie dwóch ścian danego czworościanu (rys. 10). Wtedy $AB = 1$ i $\measuredangle BAC = 60^\circ$ . Niech $P$ będzie środkiem odcinka $\overline{BC}$ , a $Q$ - takim punktem należącym do trójkąta $ABP$ , z którego widać boki $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$ pod kątem $120^\circ$ . Wtedy również $\measuredangle AQB = 120^\circ$ . Niech $x = AQ$ , $y = BQ$ , $z = PQ$ . Ponieważ $\displaystyle AP = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ , $\displaystyle BP = \frac{1}{2}$ i $\measuredangle APB = 90^\circ$ , więc przjrównując pole trójkąta $ABP$ do sumy pól trójkątów $AQB$ , $BQP$ i $AQP$ otrzymujemy $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (xy+yz+zx) \cdot \sin 120^\circ$ , czyli

$ (1) \qquad xy + yz+zx = \frac{1}{2}. $

Ponieważ $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ więc z twierdzenia cosinusów dla trójkątów $AQB$ , $BQP$ i $AQP$ otrzymujemy

$ (2) \qquad x^2 + y^2 + xy = 1, $

$ (3) \qquad y^2+z^2+yz=\frac{1}{4} $

$ (4) \qquad z^2 + x^2+ zx = \frac{3}{4}. $

Dodając stronami równości (2), (3), (4) oraz równość (1) pomnożoną przez $3$ otrzymujemy $2(x+y+z)^2 =\displaystyle \frac{7}{2}$ i stąd $x+y+z = \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}$ .

Jeżeli $Q'$ jest punktem symetrycznym do $Q$ względem punktu $P$ , to zbiór odcinków $\overline{AQ}$ , $\overline{BQ}$ , $\overline{QP}$ , $\overline{PQ'}$ , $\overline{GQ'}$ , $\overline{DQ'}$ ma własność podaną w zadaniu i suma długości tych odcinków jest równa $\sqrt{7}$ . Liczba ta jest mniejsza od $1 + \sqrt{3}$ .