XXVI - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXVI OM, 1974-1975

Etap:

III

W rozwinięciu dziesiętnym pewnej liczby naturalnej występują cyfry 1, 3, 7 i 9. Udowodnić, że przez permutację cyfr tego rozwinięcia można otrzymać rozwinięcie dziesiętne liczby podzielnej przez 7.

Rozwiązanie

Dokonując odpowiedniej permutacji cyfr danej liczby naturalnej możemy założyć, że ostatnimi czterema jej cyframi są $1$ , $3$ , $7$ i $9$ . Zatem rozważana liczba naturalna $n$ jest sumą liczby $1379$ i pewnej liczby całkowitej nieujemnej $a$ , której ostatnimi czterema cyframi są zera. Udowodnimy, że dokonując odpowiedniej permutacji ostatnich czterech cyfr liczby $n$ uzyskamy liczbę $n'$ podzielną przez $7$ .

Liczby

$<br /> (1) \qquad 1379,\ 1793,\ 3719,\ 1739,\ 1397,\ 1937,\ 1973<br />$

dają odpowiednio reszty $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ przy dzieleniu przez $7$ . Zatem, jeżeli liczba $a$ daje resztę $r$ przy dzieleniu przez $7$ , to dodając do niej tę z liczb (1), która daje resztę $7 - r$ przy dzieleniu przez $7$ , otrzymamy żądaną liczbę $n'$ podzielną przez $7$ i powstającą przez permutację cyfr liczby $n$ .