LX OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LX OM, 2008-2009

Etap:

Udowodnić, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych
$a$ , $b$ , $c$ prawdziwa jest nierówność

$4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \leqslant 4c^3 +(a+b)^3.$

Rozwiązanie

Korzystając z nierówności $x+y \geqslant 2xy$ prawdziwej dla
dowolnych liczb nieujemnych $x$ , $y$ otrzymujemy

$ (a+b)^3 = a^3 + b^3 +3ab(a+b) \geqslant a^3 + b^3 + 3ab\cdot2\sqrt{ab} = a^3 + b^3 +6\sqrt{a^3b^3}. $

Wobec tego teza zadania wynika z następującego rachunku:

$ \begin{split} 4c^3 +(a+b)^3 &- 4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \geqslant \\ & 4c^3 + a^3 + b^3 +6\sqrt{a^3b^3} - 4(\sqrt{a^3b^3} + \sqrt{b^3c^3} + \sqrt{c^3a^3}) \\ & =4c^3 + a^3 + b^3 +2\sqrt{a^3b^3} -4\sqrt{b^3c^3} - 4\sqrt{c^3a^3} \\ & = (2\sqrt{c^3} - \sqrt{a^3} - \sqrt{b^3})^2 \geqslant 0. \end{split} $