LVIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli wielomiany $P(x)$ oraz $P(P(P(x)))$ mają wspólny pierwiastek rzeczywisty, to mają także wspólny pierwiastek całkowity.

Rozwiązanie

Niech liczba rzeczywista $a$ będzie wspólnym pierwiastkiem wielomianów $P(x)$ i $P(P(P(x)))$ . Z równości $P(a)=0$ oraz $P(P(P(a)))=0$ otrzymujemy $P(P(0))=0$ . Liczba całkowita $m=P(0)$ spełnia zatem warunki

$<br /> P(m)=P(P(0))=0\quad\hbox{oraz}\quad P(P(P(m)))=P(P(P(P(0))))=P(P(0))=0,<br />$

co oznacza, że $m$ jest żądanym wspólnym pierwiastkiem całkowitym.