XXV - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dowieść, że dla każdego $m$ naturalnego

$ \frac{(2m+1)2m(2m-1)\ldots (m+2)}{m!} < 2^{2m} $

Rozwiązanie

Mamy dowieść, że

$ (1) \qquad \binom{2m + 1}{m} < 2^{2m}. $

Ze wzoru $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ , gdzie $0 \leq k \leq n$ , wynika w szczególności, że $\displaystyle \binom{2m+1}{m} = \binom{2m+1}{m+1}$ . Ze wzoru dwumianowego otrzymujemy

$ 2^{2m+1}= (1+1)^{2m+1} = \sum_{i=0}^{2m+1} \binom{2m + 1}{m} > \binom{2m+1}{m} + \binom{2m+1}{m+1} = 2 \binom{2m+1}{m}. $

Wynika stąd nierówność (1).