XXV - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

Rozwiązanie

Niech $A$ , $B$ , $C$ , $D$ będą kolejnymi wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg. Niech $O$ będzie punktem przecięcia prostych $AB$ i $CD$ , a $k$ niech będzie dwusieczną kąta $\measuredangle AOD$ (rys. 12). Jeżeli $A'$ i $C'$ są obrazami punktów $A$ i $C$ odpowiednio w symetrii względem prostej $k$ , to proste $A'C'$ i $BD$ są równoległe. Mamy bowiem $\measuredangle OBD = \measuredangle ACO$ (jako kąty wpisane oparte na tym samym łuku) oraz $\measuredangle ACO = \measuredangle A'C'O$ (symetria zachowuje miary kątów). Zatem odpowiednie dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste $AC$ i $BD$ oraz $AC$ i $A'C'$ są równoległe. Tą ostatnią dwusieczną jest prosta $k$ .