XXV - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dowieść, że jeśli $x_1, \ldots, x_n$ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $\sum_{i=1}^n x_i = 0$ , to dla dowolnych liczb rzeczywistych $t_1, t_2, \ldots, t_n$ prawdziwa jest nierówność

$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j $

Rozwiązanie

Ponieważ $\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k = 0$ , więc

$ \begin{split} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i - t_j)^2 x_ix_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i - t_j)^2 \left( t_i^2 - 2t_it_j + t_j^2 \right) x_ix_j =\\ &\quad=\sum_{i=1}^n t_i^2 x_i \sum_{j=1}^n x_j - 2 \sum_{i=1}^n t_i x_i \sum_{j=1}^n t_jx_j + \sum_{i=1}^n x_i \cdot \sum_{j=1}^n t_j^2x_j= -2 \left( \sum_{i=1}^n t_ix_i \right)^2 \leq 0. \end{split} $