XXV - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dowieść, że dla każdego $k$ , $k$ -te od końca cyfry w układzie dziesiętnym liczb $5, 5^2, 5^3, \ldots$ tworzą od pewnego miejsca ciąg okresowy.

Rozwiązanie

Niech $a_n$ będzie liczbą utworzoną z $k$ ostatnich cyfr liczby $5^n$ . Wystarczy dowieść, że ciąg $\{a_n\}$ jest okresowy. Liczba $a_n$ jest resztą z dzielenia liczby $5^n$ przez $10^k$ , tzn. $5^n = 10^k \cdot b_n + a_n$ , gdzie $b_n \geq 0$ i $0 \leq a_n < 10^k$ . Stąd $5^{n+1} = 5 \cdot 10^k \cdot bn + 5 \cdot a_n$ oraz $5^{n+1} = 10^k \cdot b_{n+1} + a_{n+1}$ . Zatem liczby $5^{n+1}$ i $5 \cdot a_n$ dają tę samą resztę $a_{n+1}$ z dzielenia przez $10^k$ . Wobec tego $a_{n+1}$ jest liczbą utworzoną z $k$ ostatnich cyfr liczby $5 \cdot a_n$ . Wynika stąd, że każdy wyraz ciągu $\{a_n\}$ jednoznacznie wyznacza wyraz następny. Ponieważ ciąg $\{a_n\}$ przybiera tylko skończoną liczbę wartości (nie więcej niż $10^k$ ), więc pewien wyraz ciągu się powtarza: $a_r = a_{r+t}$ dla pewnych naturalnych $r$ i $t$ . Wobec tego $a_{r+1} = a_{r+t+1}$ i ogólnie $a_{r+s} = a_{r+t+s}$ dla $s = 1, 2, \ldots$ . Ciąg $\{a_n\}$ jest więc od pewnego miejsca okresowy.