XXV - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$ pewna, wartość funkcji $f(x) = |a \sin x + b \sin 2x + c sin 4x|$ jest nie mniejsza od $\frac{1}{2}(|a| + |b| + |c|)$ .

Rozwiązanie

Ponieważ zmiana znaków liczb $a$ , $b$ , $c$ nie zmienia warunków zadania, więc bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $a \geq 0$ . Wtedy w zależności od znaków liczb $b$ i $c$ następująca liczba $x$ spełnia warunki zadania: jeżeli $b \geq 0$ i $c \geq 0$ , to $x = \displaystyle \frac{\pi}{6}$ ; jeżeli $b \geq 0$ i $c \leq 0$ , to $x = \displaystyle \frac{\pi}{3}$ ; jeżeli $b \leq 0$ i $c \geq 0$ , to $x = \displaystyle \frac{2\pi}{3}$ ; jeżeli $b \leq 0$ i $c \leq 0$ , to $x = \displaystyle \frac{5\pi}{6}$ .

Rozpatrzymy na przykład ostatni przypadek, w pozostałych - dowód przebiega podobnie. Ponieważ $b \leq 0$ i $c \leq 0$ , więc

$ \begin{split} f\left( \frac{5}{6} \pi \right)&= \left| \frac{1}{2}a - \frac{\sqrt{3}}{2}b - \frac{\sqrt{3}}{2}c \right|= \left| \frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}(-b) + \frac{\sqrt{3}}{2}(-c) \right|=\\ &=\frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}(-b) + \frac{\sqrt{3}}{2}(-c) \geq \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}(-b) + \frac{1}{2}(-c) = \frac{1}{2} (|a|+|b|+|c|). \end{split} $