LVIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Dany jest pięciokąt wypukły $ABCDE$ , w którym

$BC=CD,\quad DE=EA,\quad \measuredangle BCD=\measuredangle DEA=90^\circ. $

Udowodnić, że z odcinków o długościach $AC$ , $CE$ , $EB$ można zbudować trójkąt. Wyznaczyć miary jego kątów, znając miarę $\alpha$ kąta $ACE$ i miarę $\beta$ kąta $BEC$ .

Rozwiązanie

Niech $P$ będzie obrazem punktu $B$ przy obrocie o kąt $90^\circ$ wokół punktu $E$ (rys. 9); wtedy oczywiście proste $BE$ i $EP$ są prostopadłe oraz $BE=EP$ .

Przy tym obrocie punkt $A$ przechodzi na punkt $D$ , a zatem trójkąty $ABE$ oraz $DPE$ są przystające. Stąd wynika, że $AB=DP$ oraz $\measuredangle EAB=\measuredangle EDP$ .

W każdym pięciokącie suma kątów wewnętrznych wynosi $540^\circ$ , a więc $\measuredangle EAB+\measuredangle ABC+\measuredangle CDE=360^\circ$ . Wobec tego

$ \measuredangle PDC=360^\circ-\measuredangle EDC-\measuredangle EDP= 360^\circ-\measuredangle EDC-\measuredangle EAB=\measuredangle ABC\,. $

Stąd oraz z zależności $AB=DP$ oraz $BC=DC$ wynika, że trójkąty $PDC$ i $ABC$ są przystające. A skoro punkt $D$ przy obrocie o kąt $90^\circ$ wokół punktu $C$ przechodzi na punkt $B$ , więc punkt $P$ przy tym obrocie musi przejść na punkt $A$ . Stąd wynika, że proste $AC$ i $PC$ są prostopadłe oraz $AC=PC$ . Trójkąt $EPC$ jest zatem zbudowany z odcinków o długościach $AC$ , $CE$ , $EB$ .

Ponieważ proste $BE$ i $PE$ są prostopadłe, więc $\measuredangle PEC=90^\circ-\beta$ . Analogicznie uzyskujemy $\measuredangle ACP=90^\circ-\alpha$ . Wobec tego miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków $AC$ , $CE$ , $EB$ wynoszą: $90^\circ{-}\beta$ , $\alpha+\beta$ , $90^\circ{-}\alpha$ .