XXV - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie ostrokątnym każdą wysokość można za pomocą ruchu sztywnego przenieść wewnątrz trójkąta tak, aby jej spodek zajął miejsce wierzchołka, a wierzchołek miejsce spodka, to trójkąt jest równoboczny.

Rozwiązanie

Jeżeli $h$ jest długością pewnej wysokości trójkąta $ABC$ , to z warunków zadania wynika, że w trójkącie $ABC$ można umieścić odcinek o długości $h$ mający dowolny zadany z góry kierunek. Jeżeli trójkąt $ABC$ nie jest równoboczny, to długości pewnych jego wysokości są różne, np. $h_A > h_B$ . Wtedy nie można w tym trójkącie umieścić odcinka o długości $h_A$ , który byłby równoległy do wysokości poprowadzonej z punktu $B$ . Najdłuższym bowiem odcinkiem o tym kierunku zawartym w trójkącie $ABC$ jest wysokość poprowadzona z punktu $B$ , która ma długość $h_B$ . Zatem trójkąt $ABC$ spełniający warunki zadania jest równoboczny.