XXV - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dany jest wielościan wypukły i punkt $A$ w jego wnętrzu. Udowodnić, że istnieje taka ściana $S$ tego wielościanu, że rzut prostokątny punktu $A$ na jej płaszczyznę należy do $S$ .

Rozwiązanie

Niech $S$ będzie taką ścianą danego wielościanu, że odległość $d$ punktu $A$ od płaszczyzny ściany $S$ jest nie większa od odległości tego punktu od płaszczyzny każdej innej ściany wielościanu. Niech $k$ będzie półprostą o początku w punkcie $A$ prostopadłą do płaszczyzny ściany $S$ . Jeżeli półprosta $k$ nie przecina ściany $S$ , to przecina pewną inną ścianę $T$ danego wielościanu w punkcie $P$ . Z wypukłości danego wielościanu wynika, że punkty $A$ i $P$ należą do jednej półprzestrzeni wyznaczonej przez płaszczyznę ściany $S$ . Zatem $AP < d$ tym bardziej odległość punktu $A$ od płaszczyzny ściany $T$ jest mniejsza od $d$ . Otrzymana sprzeczność dowodzi, że półprostą $k$ przecina ścianę $S$ .