XXV - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

Rozwiązanie

Niech $ABCDE$ będzie danym pięciokątem wypukłym, a $A'B'C'D'E'$ - takim pięciokątem foremnym, że pole trójkąta $A'B'C'$ jest równe $1$ . Ponieważ trójkąty $ABC$ i $ABE$ mają równe pola, więc odległości punktów $C$ i $E$ od prostej $AB$ są równe. Zatem $CE \parallel AB$ i podobnie każda przekątna pięciokąta $ABCDE$ jest równoległa do odpowiedniego boku.

Dla dowolnej trójki punktów niewspółliniowych istnieje takie przekształcenie afiniczne, które przeprowadza ją na dowolną inną trójkę punktów niewspółliniowych. Niech $\varphi$ będzie takim przekształceniem afinicznym płaszczyzny, że $\varphi(A) = A'$ , $\varphi(B) = B'$ i $\varphi(C) = = C'$ . Każde przekształcenie afiniczne zachowuje stosunek pól. Ponieważ pola trójkątów $ABC$ i $\varphi(A) \varphi(B) \varphi(C)$ są równe, więc przekształcenie $\varphi$ zachowuje pola.

Przekształcenie afiniczne zachowuje równoległość odcinków. Zatem $\varphi(C)\varphi(E) \parallel \varphi(A)\varphi(B)$ , czyli $C' \varphi(E) \parallel A'B'$ . Wobec tego $(E) \in C'E'$ i podobnie 9 $\varphi(D) \in A'D'$ . Ponadto mamy $\varphi(D)\varphi(E) \parallel A'C'$ i stąd $\varphi(D)\varphi(E) \parallel D'E'$ (rys. 13).

Gdyby $\varphi(D) \ne D'$ , to jeden z trójkątów $C'\varphi(D)\varphi(E)$ i $C'D'E'$ byłby ściśle zawarty w drugim. Jest to niemożliwe, ponieważ mają one równe pola. Stąd $\varphi(D) = D'$ i podobnie $\varphi(E) = E'$ . Zatem obrazem pięciokąta $ABCDE$ w przekształceniu $\varphi$ jest pięciokąt foremny $A'B'C'D'E'$ . Pola pięciokątów tych są więc równe.

To ostatnie pole łatwo jest obliczyć. Pole trójkąta $A'B'C'$ jest równe

$ 1 = \frac{1}{2} A'B' \cdot B'C' \sin \measuredangle A'B'C' = \frac{1}{2} a^2 \sin \frac{3}{5} \pi, $

gdzie $a = A'B'$ (rys. 14). Stąd $\displaystyle a^2 = \frac{2}{\sin \frac{3}{5}\pi}$ . Odległość $d$ boku $A'B'$ od środka pięciokąta foremnego jest równa $\displaystyle d = \frac{a}{2} \tan \frac{3}{10} \pi$ .

Zatem pole pięciokąta $A'B'C'D'E'$ jest równe

$ 5 \cdot \frac{1}{2} ad = \frac{5}{4} a^2 \tan \frac{3}{10} \pi = \frac{5}{4 \cos^2 \frac{3}{10} \pi } \approx 3,62. $