XXV - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Niech $a$ , $b$ , $c$ będą niezerowymi wektorami równoległymi do krawędzi danego kąta trójściennego. Żadne dwa z tych wektorów nie są więc równoległe. Z warunków zadania wynika, że co najmniej dwie z liczb $\lambda = bc$ , $\mu = ca$ , $\nu = ab$ są różne od zera, ponieważ co najwyżej jedna para wektorów z $a$ , $b$ , $c$ jest prostopadła. Zatem wektory

$<br /> (1) \qquad r = \lambda a - \mu b, \quad s = \mu b - \nu c, \quad t = \nu c - \lambda a<br />$

są niezerowe. Z (1) wynika, że $r + s = -t$ , czyli wektory $r$ , $s$ , $t$ są równoległe do jednej płaszczyzny. Mamy też $rc = \lambda ac - \mu bc = \lambda \mu - \mu \lambda = 0$ , tzn. wektory $r$ i $c$ są prostopadłe. Podobnie dowodzimy, że $s \bot a$ i $t \bot b$ .

Wobec tego prosta zawarta w płaszczyźnie równoległej do wektorów $a$ i $b$ i prostopadła do krawędzi równoległej do wektora $c$ ma kierunek wektora $r$ . Analogicznie dowodzimy, że pozostałe dwie proste, o których jest mowa w zadaniu, są równoległe odpowiednio do wektorów $s$ i $t$ .

Jak wykazaliśmy, wektory $r$ , $s$ , $t$ są równoległe do jednej płaszczyzny. Każda z prostych rozpatrywanych w zadaniu jest równoległa do jednego z tych wektorów i proste te mają punkt wspólny. Zatem te trzy proste są zawarte w jednej płaszczyźnie.