XXV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dowieść, że dla każdego $n = 2, 3, \ldots$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $t_1, t_2, \ldots, t_n$ , $s_1, s_2, \ldots, s_n$ , jeżeli

$ \sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0. $

Rozwiązanie

Dokonując tej samej permutacji ciągów $t_1, t_2, \ldots,t_n$ i $s_1, s_2, \ldots, s_n$ nie zmieniamy warunków zadania. Możemy więc założyć, że ciąg $s_1, s_2, \ldots, s_n$ jest niemalejący.

Niech $a_k = s_{k+1} - s_k$ dla $k = 1, 2, \ldots, n-1$ . Wtedy dla $i <j$ mamy $s_j - s_i = (s_j - s_{j-1}) + (s_{j-1} - s_{j-2}) + \ldots + (s_{i+ 1} - s_i)$ .

Wobec tego

$ (1) \qquad |s_j - s_i | = \sum_{i \leq k < j} a_k \ \textrm{dla} \ i<j. $

W sumie

$ (2) \qquad \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n t_i t_j |s_i - s_j | $

składnik odpowiadający parze wskaźników $(i,j)$ jest równy składnikowi odpowiadającemu parze $(j, i)$ . Ponadto, jeżeli $i = j$ , to składnik odpowiadający parze $(i,j)$ jest równy zeru. Wobec tego suma (2) jest równa

$ (3) \qquad 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} t_it_j |s_i - s_j |. $

Na mocy (1) sumę tę możemy zapisać w postaci

$ 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} t_it_j \sum_{i \leq k < j} a_k, $

czyli

$ (4) \qquad 2 \sum_{1 \leq i \leq k < j \leq n} t_it_j a_k. $

Suma składników w (4) odpowiadających ustalonym wartościom $i$ i $k$ jest równa

$ (5) \qquad \sum_{j=k+1}^n t_it_j a_k = t_i a_k \sum_{j=k+1}^n t_j = -t_i a_k \sum_{j=1}^k t_j, $

ponieważ $\displaystyle \sum_{j=1}^k t_j + \sum_{j=k+1}^n t_j = \sum_{j=1}^n t_j =0$ z założenia.

Wobec tego na mocy (5) suma (4) jest równa

$ \begin{split} 2 \sum_{1 \leq i \leq k < n} \sum_{j=k+1}^n t_i t_j a_k &= - 2 \sum_{1 \leq i \leq k < n} t_i a_k \sum_{j=1}^k t_j =- 2 \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k a_k t_i t_j =\\ &= - 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k \sum_{i=1}^k t_i \sum_{j=1}^k t_j =- 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k \left( \sum_{i=1}^k t_i \right)^2. \end{split} $

Ta ostatnia liczba jest niedodatnia, ponieważ każda z liczb $a_k$ jest nieujemna.