XXV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $D$ czworościanu $ABCD$ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ należą do jednej płaszczyzny.

Rozwiązanie

Płaszczyzna dwusieczna jest płaszczyzną symetrii kąta dwuściennego. Wobec tego obraz $D'$ wierzchołka $D$ w symetrii względem dowolnej z rozważanych płaszczyzn dwusiecznych należy do płaszczyzny $ABC$ . Wynika stąd, że jeżeli $P$ jest rzutem prostokątnym punktu $D$ na płaszczyznę dwusieczną, to $P$ jest środkiem odcinka $\overline{DD'}$ . Zatem punkt $P$ jest obrazem punktu $D'$ w jednokładności $\varphi$ o środku w punkcie $D$ i stosunku $\displaystyle \frac{1}{2}$ . Wobec tego rzuty punktu $P$ na wszystkie rozważane płaszczyzny dwusieczne należą do płaszczyzny będącej obrazem płaszczyzny $ABC$ w jednokładności $\varphi$ .