XXV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dane są liczby rzeczywiste $q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1)$ , $t \in (0; 1 \rangle$ . Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych ${n_k}$ ( $k = 1,2, \ldots$ ), że

$ t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}. $

Rozwiązanie

Ciąg $\{n_k\}$ $(k = 1,2, \ldots)$ określamy indukcyjnie, jak następuje. Ponieważ $0 < q < 1$ , więc $q^0= 1$ oraz $\displaystyle \lim_{n \to \infty} q^n = 0$ . Dla każdej liczby $t$ należącej do przedziału $(0;\ 1 \rangle$ istnieje więc taka liczba naturalna $n_1$ , że

$ g^{n_1} < t \leq q^{n_1-1}. $

Wtedy

$ 0 < t - q^{n_1} \leq q^{n_1-1} - q^{n_1} = q^{n_1-1} (1 - q) \leq = q^{n_1}, $

ponieważ $1 - q \leq q$ dla $\displaystyle q \in \langle \frac{1}{2};\ 1)$ .

Załóżmy z kolei, że dla pewnej liczby naturalnej $k$ został już określony taki rosnący ciąg liczb naturalnych $n_1, n_2, \ldots, n_k$ , że

$ (1) \qquad 0 < t - \sum_{j=1}^k q^{n_j} \leq q^{n_k}. $

Jako $n_{k+1}$ przyjmujemy taką liczbę naturalną $m$ , że

$ (2) \qquad q^m < t - \sum_{j=1}^k q^{n_j} \leq q^{m-1}. $

Z (1) i (2) wynika, że $q^m < q^{n_k}$ , a więc $m > n_k$ , czyli $n_{k+1} > n_k$ . Ponadto z (2) otrzymujemy

$ 0 < t - \sum_{j=1}^{k+1} q^{n_j} = t - \sum_{j=1}^k q^{n_j} - q^{n_{k+1}} \leq q^{m-1} - q^m = q^{m-1} (1-q) \leq q^m = q^{n_{k+1}}, $

ponieważ $1 - q \leq q$ dla $q \in \langle \frac{1}{2};\ 1)$ .

Wobec tego na mocy zasady indukcji istnieje taki nieskończony rosnący ciąg liczb naturalnych $n_1, n_2,\ldots$ , że spełniony jest warunek (1) dla $k = 1, 2, \ldots$ .

Ponieważ $\displaystyle \lim_{n \to\infty} q^{n_k} = 0$ , więc z (1) wynika, że

$ \lim_{k \to \infty} (t - \sum_{j=1}^k q^{n_j}) = 0,\ \textrm{czyli}\ t = \lim_{k \to \infty} \sum_{j=1}^k q^{n_j} = \sum_{j=1}^\infty q^{n_j}. $

Uwaga. Ciąg $\{n_k \}$ spełniający warunki zadania na ogół nie jest wyznaczony jednoznacznie. Rozpatrzmy wielomian $f(x) = x^3 + x^2 - 1$ . Ma on pierwiastek w przedziale $\displaystyle \left( \frac{1}{2};\ 1 \right)$ , ponieważ na końcach tego przedziału $f(x)$ przybiera wartości przeciwnych znaków. Oznaczmy taki pierwiastek przez $q$ . Wtedy obliczając sumy szeregów geometrycznych otrzymujemy