XXV OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

Dany jest ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1}$ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $n$ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

Rozwiązanie

\spos{1} Zauważmy najpierw, że jeżeli pewien ciąg liczb rzeczywistych

$ (1) \qquad a_1, a_2, \ldots, a_{2n + 1} $

spełnia warunki zadania, to również spełnia je każdy z ciągów

$ a_1 + k, a_2 + k, \ldots, a_{2n+1} + k, $

$ ka_1, ka_2, \ldots, ka_{2n+1}, $

gdzie $k$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Przypuśćmy, że pewien ciąg (1) liczb całkowitych spełnia warunki zadania oraz $a_1 \ne a_2$ . Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $a_1 = 0$ . W przeciwnym bowiem razie do każdego wyrazu ciągu dodalibyśmy $-a_1$ . Wśród ciągów (1) o wyrazach całkowitych spełniających warunki zadania, $a_1 \ne a_2$ $a_1 = 0$ wybierzmy taki, w którym liczba $|a_2|$ ma minimalną wartość.

Po odrzuceniu wyrazu $a_1 = 0$ suma pozostałych wyrazów jest parzysta na mocy warunków zadania. Wobec tego suma wszystkich wyrazów ciągu (1) jest parzysta. Analogicznie, po odrzuceniu dowolnego wyrazu $a_j$ suma pozostałych wyrazów jest parzysta. Zatem dowolny wyraz $a_j$ ciągu (1) jest parzysty.

Wynika stąd, że wyrazy ciągu $b_1, b_2, \ldots, b_{2n+1}$ , gdzie $b_i = \displaystyle \frac{1}{2} a_i$ dla $i= 1,2,\ldots, 2n+1$ , są liczbami całkowitymi. Mamy $|b_2| = \displaystyle \frac{1}{2} |a_2| < |a_2|$ , ponieważ $a_2 \ne 0$ . Przeczy to minimalności liczby $|a_2|$ .

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że w każdym ciągu liczb całkowitych (1) spełniającym warunki zadania wszystkie wyrazy są równe.