XXV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

III

W czworościanie $ABCD$ krawędź $\overline{AB}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ i $\measuredangle ACB = \measuredangle ADB$ . Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $\overline{AB}$ i środek krawędzi $\overline{CD}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw
Lemat. Jeżeli proste $AB$ i $PQ$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie $P$ , to liczba punktów półprostej $PQ^\to$ , z których widać odcinek $\overline{AB}$ pod kątem $\alpha$ , jest równa $0$ , $1$ lub $2$ .

Dowód. Jak wiadomo, zbiór punktów zawartych w półpłaszczyźnie o krawędzi $AB$ i zawierającej punkt $Q$ , z których widać odcinek $AB$ pod kątem $\alpha$ , jest łukiem pewnego okręgu. Ten łuk ma z półprostą $PQ^\to$ $0$ , $1$ lub $2$ punkty wspólne w zależności od położenia odcinka $AB$ względem punktu $P$ i od wielkości kąta $\alpha$ (rys. 19).

Wniosek. Niech prosta $AB$ będzie prostopadła do płaszczyzny $\pi$ . Zbiór punktów płaszczyzny $\pi$ , z których widać odcinek $\overline{AB}$ pod kątem
$\alpha(0 < \alpha < \pi)$ , jest pusty, jest okręgiem lub sumą dwóch okręgów współśrodkowych.

Dowód. Niech $P$ będzie punktem przecięcia prostej $AB$ z płaszczyzną $\pi$ , a $Q$ - dowolnym punktem płaszczyzny $\pi$ różnym od $P$ . Na mocy lematu półprosta $PQ^\to$ zawiera co najwyżej dwa punkty, z których widać odcinek $\overline{AB}$ pod kątem $\alpha$ . Przy obrocie dokoła prostej $AB$ punkty te utworzą co najwyżej dwa okręgi współśrodkowe i z każdego punktu tych okręgów widać odcinek $\overline{AB}$ pod kątem $\alpha$ . Na mocy lematu z każdego punktu płaszczyzny $\pi$ nie należącego do tych okręgów widać odcinek $\overline{AB}$ pod kątem różnym od $\alpha$ .

Przechodzimy do rozwiązania zadania. Niech $\pi$ będzie płaszczyzną prostopadłą do $AB$ i zawierającą odcinek $\overline{CD}$ i niech $P$ będzie punktem przecięcia prostej $AB$ z płaszczyzn $\pi$ . Na mocy warunków zadania z punktów $C$ i $D$ widać odcinek $\overline{AB}$ pod tym samym kątem. Z wniosku z lematu wynika więc, że albo

1) punkty $C$ i $D$ należą do jednego okręgu o środku w punkcie $P$ , albo,

2) punkty $C$ i $D$ należą do różnych okręgów o środku w punkcie $P$ .

W pierwszym przypadku symetralna odcinka $\overline{CD}$ zawiera punkt $P$
i wobec tego płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $\overline{AB}$ i środek krawędzi $\overline{CD}$ jest prostopadła do krawędzi $\overline{CD}$ . W drugim przypadku symetralna odcinka $\overline{CD}$ nie zawiera punktu $P$ . Gdyby bowiem go zawierała, to punkt $P$ byłby równo odległy od punktów $C$ i $D$ . Punkty te należałyby więc do jednego okręgu o środku w punkcie $P$ , co nie ma miejsca. Wobec tego płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $\overline{AB}$ i środek krawędzi $\overline{CD}$ nie zawiera symetralnej odcinka $\overline{CD}$ , a więc nie jest do niego prostopadła.

Teza zadania w drugim przypadku nie jest więc prawdziwa. Przypadek pierwszy ma miejsce na przykład wtedy, gdy punkt $P$ należy do odcinka $\overline{AB}$ , a więc na przykład, gdy kąt $\measuredangle ACB$ jest rozwarty.