XXV OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

III

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $p > 0$ , a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $q > 0$ . Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $n$ próbach pod warunkiem, że w $n$ próbach nie pokona obu wodospadów.

Rozwiązanie

Niech $A_n$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że łosoś nie pokona pierwszego wodospadu w $n$ próbach, a $B_n$ - zdarzeniem, że łosoś nie pokona obu wodospadów w $n$ próbach. Ponieważ prawdopodobieństwo tego, że łosoś nie pokona pierwszego wodospadu w jednej próbie równe jest $1 - p$ , a próby są niezależne, więc

$ (1) \qquad p(A_n) = (1-p)^n. $

Zdarzenie $B_n$ zajdzie wtedy, gdy albo łosoś nie pokona w $n$ próbach pierwszego wodospadu, albo pokona w $k$ -tej próbie $(1 \leq k \leq n)$ pierwszy wodospad i nie pokona w pozostałych $n-k$ próbach drugiego wodospadu. Zatem

$ (2) \qquad p(B_n) = (1 -p)^n + \sum_{k=1}^n (1 -p)^{k-1} p(1 - q)^{n-k}. $

Jeżeli $p = q$ , to wzór (2) przybiera postać

$ (3) \qquad p(B_n) = (1 -p)^n + \sum_{k=1}^n (1 -p)^{n-1} p = (1-p)^n + np(l -p)^{n-1}. $

Jeżeli $q= 1$ , to

$ (4) \qquad p(B_n) = (1 - p)^n + (1 - p)^{n-1}p = (1 - p)^{n-1}. $

W tym przypadku bowiem łosoś pokonałby drugi wodospad już w pierwszej próbie. Zatem zdarzenie $B_n$ zajdzie wtedy, gdy łosoś nie pokona pierwszego wodospadu w $n$ próbach lub pokona go dopiero w $n$ -tej próbie.

Wzór (4) wynika zresztą ze wzoru (2), jeżeli przyjmiemy, że $0^0 = 1$ .

Wreszcie, jeżeli $p \ne q$ i $q < 1$ , to korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego przekształcamy (2) jak następuje:

$ \begin{split} p(B_n) & = (1-p)^n + p(1-q)^{n-1} \frac{1- \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n}{1-\frac{1-p}{1-q}} = (1-p)^n + \\ & + (1-q)^{n} \frac{p}{p-q} \left[ 1- \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n \right] = (1-p)^n + \frac{p}{p-q} ((1-q)^n - (1-p)^n)=\\ & = \frac{p(1-q)^n q(1-p)^n}{p-q}. \end{split} $

Mamy więc w tym przypadku

$ (5) \qquad p (B_n) = \frac{p(1-q)^n - q(1-p)^n}{p-q}. $

Jeżeli zajdzie zdarzenie $A_n$ , to tym bardziej zajdzie zdarzenie $B_n$ . Wobec tego $A_n \cap B_n = A_n$ . Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe otrzymujemy więc

$ (6) \qquad P(A_n \mid B_n) = \frac{A_n \cap B_n)}{p(B_n)} = \frac{P(A_n)}{P(B_n)}. $

Jeżeli $n = 1$ , to z warunków zadania wynika, że $p(A_n) = 1 - p$ oraz $p(B_n) = 1$ . Zatem z (6) otrzymujemy, że $p(A_n \mid B_n)= 1 -p$ . W dalszym ciągu będziemy więc zakładali, że $n \geq 2$ .

Zauważmy, że jeżeli $p \ne q$ , to $p(B_n) \ne 0$ . Istotnie, gdyby $p(B_n) = 0$ , to ze wzoru (5) otrzymalibyśmy $p(1 - q)^n = q(1 -p)^n$ . Stąd

$ (7) \qquad \frac{p}{q} = \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n. $

Jeżeli na przykład $p < q$ , to $1 - p > 1 - q$ i równość (7) nie może mieć miejsca. Podobnie dowodzimy, że (7) nie zachodzi, gdy $p> q$ .

Jeżeli $p = q$ i p $(B_n) = 0$ , to ze wzoru (3) wynika, ze $p = 1$ . Zatem w przypadku, gdy $p = q = 1$ (i tylko w tym przypadku) prawdopodobieństwo warunkowe $p(A_n \mid B_n)$ nie istnieje. Obliczamy je w pozostałych przypadkach.

Jeżeli $p = q < 1$ , to z (1), (3) i (6) otrzymujemy

$ (8) \qquad p(A_n \mid B_n) = \frac{1 - p}{1-p+np} = \frac{1-p}{1+(n-1)p}. $

Jeżeli $p < q = 1$ , to z (1), (4-) i (6) otrzymujemy

$ (9) \qquad p(A_n \mid B_n) = 1-p. $

Jeżeli $p \ne q < 1$ , to z (1), (5) i (6) otrzymujemy

$ (10) \qquad p(A_n \mid B_n) =\frac{(1-p)^n(p-q)}{p(1-q)^n - q(1-p)^n}= \frac{(p-q) \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n}{p-g} \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n. $

Uwaga.

Zbadamy w każdym z przypadków liczbę $g= \lim_{n \to \infty} p(A_n \mid B_n)$ .

Jeżeli $p = q < 1$ , to ze wzoru (8) wynika, że $g = 0$ .

Jeżeli $p < q = 1$ , to ze wzoru (9) wynika, że $g = 1 - p = 1 -\displaystyle \frac{p}{1}$ .

Jeżeli $p < q < 1$ , to $1 - p > 1 - q$ i $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n = \infty$ . Zatem z (10) wynika, że $\displaystyle g = \frac{p-q}{-q} = 1- \frac{p}{q}$ .

Jeżeli $q < p \leq 1$ , to $1 - p < l - q$ i $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1-p}{1-q} \right)^n = 0$ . Wobec tego z (10) otrzymujemy, że $g = 0$ .

Zawsze więc $g = \max \left(0, 1 - \frac{p}{q} \right)$ .