XXV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

III

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n$ i ciągu liczb rzeczywistych $a_1, a_2, \ldots, a_n$ istnieje liczba naturalna $k \leq n$ taka, że

$ \left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1\leq i \leq n} |a_i| $

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw
Lemat. Jeżeli $\varepsilon \geq 0$ i liczby rzeczywiste $s_1, s_2, \ldots, s_n$ spełniają warunki

$ (1) \qquad |s_1| \leq \varepsilon, | s_{i+1} - s_i | \leq \varepsilon \ \textrm{dla}\ i = 1, 2, \ldots, n - 1,\ \textrm{to istnieje taka liczba naturalna}\ k \leq n,\ \textrm{że} $

$ (2) \qquad \left| s_k - \frac{1}{2}s_n \right| \leq \frac{1}{2}\varepsilon. $

Dowód. Jeżeli $\varepsilon = 0$ , to z (1) wynika, że $s_1 = s_2 = \ldots = s_n = 0$ , i teza lematu oczywiście zachodzi. Załóżmy więc, że $\varepsilon > 0$ .

Niech $a$ będzie najmniejszą, a $b$ - największą z liczb $s_1, s_2, \ldots, s_n$ . Liczby $s_1, s_2, \ldots, s_n$ dzielą więc przedział $\langle a;\ b \rangle$ na odcinki o długości nie przekraczającej $\varepsilon$ . Każda liczba tego przedziału jest więc odległa od jednej z liczb $s_1, s_2, \ldots, s_n$ nie więcej niż o $\displaystyle \frac{1}{2} \varepsilon$ . W szczególności, jeżeli $\displaystyle \frac{1}{2} s_n \in \langle a;\ b \rangle$ , to spełniony jest warunek (2). Załóżmy więc, że $\displaystyle \frac{1}{2} s_n \ne \langle a;\ b \rangle$ .

Z określenia liczb $a$ i $b$ wynika, że $s_n \in \langle a ;\ b \rangle$ . Jeżeli $0 \in \langle a ;\ b \rangle$ , to otrzymujemy, że $\displaystyle \frac{1}{2} s_n \in \langle a ;\ b \rangle$ , co przeczy przyjętemu założeniu.

Niech więc $0 \not \in \langle a ;\ b \rangle$ . Wtedy liczby $s_1, s_2, \ldots, s_n$ mają jednakowy znak. Ponieważ zmiana znaku wszystkich tych liczb nie zmienia warunków lematu, więc możemy założyć, że liczby $s_1, s_2, \ldots, s_n$ są dodatnie. Mamy więc

$ (3) \qquad 0 < a \leq s_n \leq b $

oraz

$ (4) \qquad 0 < a \leq s_1 \leq \varepsilon. $

Ponieważ $\displaystyle \frac{1}{2} s_n \not \in \langle a ;\ b \rangle$ , więc z (3) wynika, że $\displaystyle 0 < \frac{1}{2}a \leq \frac{1}{2} s_n < a$ . Zatem na mocy (4) mamy $\displaystyle | a - \frac{1}{2} s_n | < \frac{1}{2} a \leq \frac{1}{2} \varepsilon$ . Liczba $a$ jest jedną z liczb $s_1, s_2, \ldots, s_n$ . Otrzymaliśmy więc warunek (2).

Z lematu wynika natychmiast teza zadania. Wystarczy mianowicie przyjąć $\varepsilon = \max_{1 \leq i \leq n} | a_i |$ , $s_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_i$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ . Wtedy $|s_1| = |a_1| \leq \varepsilon$ i $|s_{i+1} - s_i| = | a_{i+1} | \leq \varepsilon$ dla $i = 1, 2, \ldots, n - 1$ . Spełnione są więc założenia lematu. Z lematu wynika, że dla pewnej liczby naturalnej $k \leq n$ zachodzi $|2s_k -s_n | \leq \varepsilon$ , czyli

$ \left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1 \leq i \leq n} |a_i|. $