XXV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXV OM, 1973-1974

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli liczby naturalne $n$ , $r$ spełniają nierówność $r + 3 \leq n$ ,to liczby $\binom{n}{r}$ , $\binom{n}{r+1}$ , $\binom{n}{r+2}$ , $\binom{n}{r+3}$ nie są kolejnymi wyrazami żadnego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw dwa lematy.

Lemat 1. Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ istnieją co najwyżej dwie takie liczby naturalne $k \leq n - 2$ , że liczby $\binom{n}{k}$ , $\binom{n}{k+1}$ , $\binom{n}{k+2}$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Dowód. Jeżeli liczby $\displaystyle \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1}, \binom{n}{k+2}$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to

$ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+2} = 2\binom{n}{k+1}. $

Mnożąc tę równość stronami przez $\displaystyle \frac{(k+2)!(n-k)!}{n!}$ otrzymamy

$ (k + 2) (k +1) + (n - k) (n - k - 1) = 2 (k + 2) (n - k). $

Jest to równanie kwadratowe ze względu na $k$ . Ma więc ono co najwyżej dwa rozwiązania.

Lemat 2. Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ istnieje co najwyżej jedna taka liczba naturalna $k \leq n - 1$ , że $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{k+1}$ .

Dowód. Mnożąc powyższą równość obustronnie przez $\displaystyle \frac{(k+1)!(n-k)!}{n!}$ otrzymujemy $k + 1 = n - k$ . Jest to równanie stopnia pierwszego ze względu na $k$ . Ma więc ono co najwyżej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od $n$ .

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy, że $a_j = \displaystyle \binom{n}{j}$ dla $j = 1, 2, \ldots, n$ . Przypuśćmy, ze
liczby

$ (1) \qquad a_r, a_{r+1}, a_{r+2}, a_{r+3} $

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Na mocy wzoru $\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ , czyli $a_k = a_{n-k}$ , również liczby $a_{n-r-3}, a_{n-r-2}, a_{n-r-1}, a_{n-r}$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy więc następujące ciągi arytmetyczne trójwyrazowe

$ a_{r}, a_{r+1}, a_{r + 2}, $

$ a_{r+1}, a_{r+2}, a_{r + 3}, $

$ a_{n-r-3}, a_{n-r-2}, a_{n-r-1} $

$ a_{n-r-2}, a_{n-r-1}, a_{n-r}, $

Z lematu 1 wynika, że zbiór $\{r, r + 1, n - r - 3, n - r - 2\}$ zawiera co najwyżej dwie różne liczby. Ponieważ $r$ i $r + 1$ oraz $n - r - 3$ i $n - r - 2$ są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc $r =n - r - 3$ i $r + 1 = n - r - 2$ .

Zatem $a_{r+1} = a_{n-r-2} = a_{r+2}$ czyli ciąg arytmetyczny (1) jest stały. Z lematu 2 wynika, że jest to niemożliwe.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że liczby (1) nie są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Uwaga. Można dowieść, że jeżeli dla pewnych liczb naturalnych $n$ i $r$ , gdzie $r \leq n - 2$ , liczby $\displaystyle \binom{n}{r}, \binom{n}{r+1}, \binom{n}{r+2}$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to istnieje taka liczba naturalna $m \geq 3$ , że $n = m^2 - 2$ i $r = \displaystyle \frac{1}{2} (m^2 - m) - 2$ lub $r = \displaystyle \frac{1}{2} (m^2 + m) - 2$ .

Na odwrót, jeżeli liczby $n$ i $r$ są określone powyższymi wzorami, to liczby $\displaystyle \binom{n}{k}, \binom{n}{k+1}, \binom{n}{k+2}$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Na przykład biorąc $m = 3$ otrzymujemy, że liczby $\displaystyle \binom{7}{1}, \binom{7}{2}, \binom{7}{3}$ tworzą ciąg arytmetyczny.