LVIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Udowodnić, że jeżeli $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są liczbami całkowitymi dodatnimi oraz $\ ad=b^2+bc+c^2\;,\;$ to liczba

$ a^2+b^2+c^2+d^2$$ $

jest złożona.

Rozwiązanie

Z warunków zadania otrzymujemy równość $2ad=b^2+c^2+(b+c)^2$ , a więc

$ (a+d)^2-(b+c)^2=(a+d)^2-2ad+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2+d^2. $

Z drugiej strony, z rozkładu różnicy kwadratów na czynniki mamy

$ (a+d)^2-(b+c)^2=(a+d+b+c)(a+d-b-c). $

Łącząc powyższe zależności uzyskujemy

$ (1) \qquad a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)(a+d-b-c). $

Czynnik $a+b+c+d$ jest liczbą całkowitą większą od $1$ . Gdyby był on równy $a^2+b^2+c^2+d^2$ , to na mocy nierówności $k^2>k$ (prawdziwej dla $k>1$ ) otrzymalibyśmy równości $a=b=c=d=1$ , jednakże liczby te nie spełniają warunków zadania. Zatem $a+b+c+d$ jest właściwym dzielnikiem liczby $a^2+b^2+c^2+d^2$ , skąd wynika teza zadania.

Uwaga:Jak widać, kluczem do rozwiązania zadania jest równość (1). Jednakże wielu uczestników Olimpiady uznało, że z chwilą wyprowadzenia tej równości można uznać rozwiązanie zadania za zakończone. Tak nie jest; należy bowiem pamiętać, że przedstawienie liczby całkowitej dodatniej w postaci iloczynu dwóch liczb całkowitych nie dowodzi jeszcze, że rozważana liczba jest złożona. Trzeba ponadto sprawdzić, że żaden z czynników nie jest równy $1$ ani $-1$ .

Czynnik $a+b+c+d$ w iloczynie po prawej stronie zależności (1) jest liczbą całkowitą większą od $1$ , więc wystarczy wykluczyć równość $a-b-c+d=1$ .

Znaczna część zawodników wykazywała, że $a-b-c+d\ne 1$ , w następujący bardziej skomplikowany sposób: Przypuśćmy, że $a-b-c+d=1$ ; wiemy z założeń zadania, że $ad=b^2+bc+c^2$ , prawdziwa jest zatem równość

$ ad+bc=(b+c)^2=(a+d-1)^2=a^2+d^2+1-2a-2d+2ad, $

z której otrzymujemy

$ a^2+d^2+1+ad-bc-2a-2d=0, $

czyli

$ (a-1)^2+(d-1)^2+ad-bc-1=(a-1)^2+(d-1)^2+b^2+c^2-1=0. $

Ostatnia równość jest niemożliwa, gdyż $(a-1)^2\ge 0$ , $(d-1)^2\ge 0$ , $b^2\ge 1$ , $c^2\ge 1$ . Sprzeczność ta dowodzi, że $a-b-c+d\ne 1$ i w konsekwencji rozkład (1) jest rozkładem na dzielniki właściwe.