XXIV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Dowieść, że dla każdego trójkąta istnieje prosta dzieląca ten trójkąt na dwie figury o równych obwodach i równych polach.

Rozwiązanie

W trójkącie równoramiennym prosta zawierająca dwusieczną kąta utworzonego przez jego ramiona spełnia warunki zadania. Niech więc długości boków trójkąta $ABC$ będą różne. Niech np. $a < b < c$ , gdzie $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ (rys. 6). Oznaczmy $p = \displaystyle \frac{1}{2} (a + b + c)$ .

Jeżeli $p - a \leq x \leq c$ , to $p - c \leq p - x \leq a$ . Zatem dla każdego $x \in \langle p-a;\ c \rangle$ istnieją takie punkty $P \in \overline{AB}$ i $Q \in \overline{BC}$ , że $BP = x$ i $BQ= p - x$ . Wtedy prosta $PQ$ dzieli obwód trójkąta $ABC$ na dwie równe części. Wykażemy, że istnieje takie $x \in \langle p-a;\ c\rangle$ , że pole $S_1$ trójkąta $BPQ$ jest równe połowie pola $S$ trójkąta $ABC$ . Mamy $S - 2S_1 = \displaystyle \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \measuredangle B - BP \cdot BQ \cdot \sin \measuredangle B = \frac{1}{2} \sin \measuredangle B (ac - 2x (p - x))$ . Niech $f(x) = ac - 2x (p - x)$ . Obliczamy, że $f(p - a) = a (a - b) < 0$ oraz $f(c) = c (c - b) > 0$ . Ponieważ wielomian $f$ przybiera na końcach przedziału $\langle p- a;\ c \rangle$ wartości przeciwnych znaków, więc ma on pierwiastek $x_0$ w tym przedziale. Zatem dla $x = x_0$ mamy $S = 2S_1$ .