XXIV OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Niech $w(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli liczba naturalna $d$ jest dzielnikiem każdej z liczb $a_n = 3^n + w(n)$ , gdzie $n = 0, 1, 2, \ldots$ , to $d$ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.

Rozwiązanie

Niech liczba pierwsza $p$ będzie dzielnikiem każdej z liczb $a_n$ , gdzie $n = 0, 1,2, \ldots$ . Wystarczy udowodnić, że $p = 2$ .

W szczególności mamy $p \mid a_0$ i $p \mid a_p$ . Stąd $p \mid a_p - a_0 =<br /> (3^p - 1) + (w(p) - w(0))$ . Niech $w(x) = c_0 + c_1x + \ldots + c_rx^r$ , gdzie liczby $c_0, c_1, \ldots, c_r$ są całkowite. Liczba $w(p) - w(0) = c_1p + c_2p^2 + \ldots + c_rp^r$ jest oczywiście podzielna przez $p$ . Zatem $p \mid 3^p - 1$ . Stąd $p \ne 3$ . Z małego twierdzenia Fermata wynika więc, że $p \mid 3^{p-1} - 1$ . Wobec tego $p \mid (3^p - 1) - (3^{p-1} - 1) = 2 \cdot 3^{p-1}$ . Ponieważ $p \ne 3$ , więc wynika stąd, że $p = 2$ .