XXIV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

W czworościanie $ABCD$ na, prostej łączącej środki krawędzie $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ obrano dowolny punkt $P$ nie leżący na tych krawędziach. Udowodnić, że proste $PA$ , $PB$ , $PC$ , $PD$ przecinają płaszczyznę równoległą do krawędzi $AB$ i $CD$ w punktach będących wierzchołkami równoległoboku.

Rozwiązanie

Niech $\pi$ będzie pewną płaszczyzną równoległą do krawędzi $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ . Jeżeli dla pewnego punktu $X$ prosta $PX$ przecina płaszczyznę $\pi$ , to przez $X'$ oznaczmy punkt przecięcia. Niech $R$ będzie środkiem odcinka $\overline{AB}$ , a $S$ - środkiem odcinka $\overline{CD}$ . Wtedy $R' = S'$ , ponieważ proste $PR$ i $PS$ są równe.

Z założenia odległości punktów $A$ i $P$ od płaszczyzny $\pi$ są różne. Zatem prosta $PA$ przecina płaszczyznę $\pi$ . Analogicznie stwierdzamy,że proste $PB$ , $PC$ , $PD$ przecinają płaszczyznę $\pi$ .

Jeżeli $P \in \pi$ , to $A'= B' = C' = D'= P$ . Niech więc $P \not \in \pi$ . Wtedy proste $AB$ i $A'B'$ są zawarte w płaszczyźnie $ABP$ . Jeżeli $AB \in \pi$ , to oczywiście $AB = A'B'$ . Wtedy $R = R'$ . Jeżeli zaś $AB \in \pi$ , to prosta $AB$ nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną $\pi$ . W szczególności proste $AB$ i $A'B'$ nie mają punktów wspólnych. Zatem $AB \parallel A'B'$ . Wynika stąd, że $\measuredangle BAP = \measuredangle B'A'P$ , $\measuredangle ABP = \measuredangle A'B'P$ i $\measuredangle ARP = \measuredangle A'R'P$ (rys. 7). Wobec tego trójkąty $ARP$ i $A'R'P$ oraz $BRP$ i $B'R'P$ są podobne.

Stąd

$<br /> \frac{AR}{A'R'} = \frac{RP}{R'P} = \frac{BR}{B'R'}.<br />$

Ponieważ $AR = BR$ , więc wynika stąd, że $A'R' = B'R'$ , czyli $R'$ jest środkiem odcinka $\overline{A'B'}$ .

Analogicznie dowodzimy, że punkt $S'$ jest środkiem odcinka $\overline{CD}$ .

Jak wiemy, $AB \nparallel CD$ oraz $AB \parallel A'B'$ i $CD \parallel CD'$ . Wobec tego $A'B' \nparallel C'D'$ . Zatem odcinki $\overline{A'B'}$ i $\overline{C'D'}$ nie są równoległe i przecinają się w punkcie $R' = S'$ , który jest środkiem każdego z nich. Są więc one przekątnymi równoległoboku.