XXIV OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają równanie

$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0, $

niech $m$ będzie najmniejszą, zaś $M$ - największą z tych liczb. Dowieść, że $x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leq -nmM$ i określić, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Ponieważ $m \leq x_1 \leq M$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ , więc

$ (1) \qquad (M - x_i)(x_i-m) \geq 0, $

czyli $- x_i^2 + (m + M) x_i - mM \geq 0$ , gdzie $i = 1, 2, \ldots, n$ .

Dodając te nierówności stronami wobec $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0$ otrzymujemy

$ - \sum_{i=1}^n x_i^2 - nmM \geq 0, \quad \textrm{czyli} \quad \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq - nmM. $

Będzie tu zachodziła równość wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej z nierówności (1) będzie zachodziła równość, tzn. gdy każda z liczb $x_i$ będzie równa $m$ lub $M$ .