XXIV OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Dowieść następującego twierdzenia: Cztery wysokości czworościanu $ABCD$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2$ .

Rozwiązanie

Dla dowolnego czworościanu $ABCD$ niech $a = \overrightarrow{AB}$ , $b = \overrightarrow{AC}$ , $c = \overrightarrow{AD}$ . Ponieważ $\overrightarrow{DC} = b - c$ , $\overrightarrow{BD} = c - a$ , $\overrightarrow{CB} = a - b$ , więc równości dane w zadaniu przybierają postać $a^2 + (b - c)^2 = b^2 + (c - a)^2 = c^2 + (a - b)^2$ , czyli

$ (1) \qquad bc = ca = ab. $

Dla dowolnego punktu $P$ niech $m = \overrightarrow{AP}$ . Punkt $P$ należy do wysokości czworościanu $ABCD$ poprowadzonej z punktu $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy wektor $m$ jest prostopadły do ściany $BCD$ , a więc gdy jest prostopadły do dwóch krawędzi zawartych w tej ścianie, np. do $\overline{CB}$ i $\overline{DC}$ . Zatem punkt $P$ należy do wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (2) \qquad m(a-b) = 0\ \textrm{i} \ m(b-c) = 0. $

Analogicznie stwierdzamy, że punkt $P$ należy do pozostałych wysokości czworościanu wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (a - m)b = 0\ \textrm{i} \ (a - m)c = 0, $

$ (3) \qquad (b - m)c = 0\ \textrm{i} \ (b - m)a = 0, $

$ (c - m)a = 0\ \textrm{i} \ (c - m)b = 0. $

Warunki (2) i (3) są równoważne następującemu

$ (4) \qquad ma = mb = mc = ab = bc = ca. $

Oczywiście z (4) wynika (1). Udowpdnimy, że na odwrót, jeżeli spełnione są równości (1), to istnieje wektor $m$ spełniający (4).

Ogólnie, jeżeli wektory $a$ , $b$ , $c$ nie należą do jednej płaszczyzny i $\alpha$ jest dowolną liczbą, to istnieje taki wektor $m$ , że

$ (5) \qquad ma = mb = mc = \alpha. $

Obierając bowiem odpowiednio układ współrzędnych można przyjąć, że $a = [a_1, 0, 0]$ , $b = [b_1, b_2, 0]$ , $c = [c_1, c_2, c_3]$ , gdzie $a_1b_2c_3 \ne 0$ , oraz $m = [x, y, z]$ . Układ (5) przybiera teraz postać

$ a_1 x = \alpha, $

$ b_1x + b_2y = \alpha, $

$ c_1x + c_2y + c_3z = \alpha. $

Ten ostatni układ ma oczywiście rozwiązanie.

Uwaga. Zadanie to było zadaniem 14(2) w XII Olimpiadzie Matematycznej.