XXIV OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Udowodnić, że wśród pięciu odcinków leżących na jednej prostej są trzy odcinki mające punkt wspólny lub trzy odcinki parami rozłączne.

Rozwiązanie

Niech dane będą odcinki otwarte $I_k = (a_k; b_k)$ , gdzie $k = 1, 2, 3, 4, 5$ . W przypadku odcinków domkniętych, domknięto-otwartych itd. rozumowanie przebiega podobnie.

Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że $a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$ . Przypuśćmy, że nie istnieje punkt należący do żadnych trzech odcinków. Gdyby $b_1 > a_3$ i $b_2 > a_3$ , to odcinki $I_1, I_2, I_3$ miałyby punkt wspólny. Zatem $b_1 \leq a_3$ lub $b_2 \leq a_3$ . Niech $r$ będzie tą z liczb, $1$ , $2$ , dla której zachodzi $b_r \leq a_3$ .

Gdyby $b_3 > a_5$ i $b_4 > a_5$ , to odcinki $I_3, I_4, I_5$ miałyby punkt wspólny. Zatem $b_3 \leq a_5$ lub $b_4 \leq a_5$ . Niech $s$ będzie tą z liczb $3$ , $4$ , dla której zachodzi $b_s \leq a_5$ .

Mamy więc $a_r < b_r \leq a_3 \leq a_s < b_s \leq a_5 < b_5$ . Wynika stąd, że odcinki $I_r, I_s, I_5$ są parami rozłączne.