LVIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Czworokąt wypukły $ABCD$ , w którym $AB\ne CD$ , jest wpisany\break w okrąg. Czworokąty $AKDL$ i $CMBN$ są rombami o bokach długości $a$ . Dowieść, że punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ cięciwy $AB$ i $CD$ są różnej długości, więc proste $AD$ i $BC$ nie są równoległe. Oznaczmy punkt ich przecięcia przez $P$ (rys. 10). Wykażemy, że punkty $K$ , $L$ , $M$ i $N$ leżą na okręgu o środku $P$ .

Prosta $AD$ jest symetralną odcinka $KL$ , skąd dostajemy $PK=PL$ . Analogicznie $PM=PN$ . Wystarczy zatem dowieść, że $PK=PN$ .

Oznaczmy przez $Q$ punkt przecięcia przekątnych rombu $AKDL$ . Wówczas na mocy twierdzenia Pitogarasa otrzymujemy

$ (1) \qquad \begin{split} AP\cdot DP&=(PQ+AQ)(PQ-AQ)=PQ^2-AQ^2= \\ &=PK^2-KQ^2-AQ^2=PK^2-AK^2\,. \end{split} $

Analogicznie dowodzimy, że

$ (2) \qquad BP\cdot CP=PN^2-BN^2\,. $

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na jednym okręgu, więc spełniona jest równość

$ (3) \qquad AP\cdot DP=BP\cdot CP\,. $

Łącząc zależności (1), (2) i (3) dochodzimy do wniosku, że

$ PK^2-AK^2=PN^2-BN^2\,; $

skoro zaś $AK=BN=a$ , uzyskujemy stąd równość $PK=PN$ , która kończy rozwiązanie zadania.

Sposób II

Z warunku $AB\ne CD$ wynika, że proste $AD$ , $BC$ nie są równoległe. Zatem proste $KL$ , $MN$ , będące odpowiednio symetralnymi boków $AD$ , $BC$ , przecinają się w punkcie $O$ - środku okręgu opisanego na czworokącie $ABCD$ .

Z równości $DK=CM=a$ oraz $OD=OC$ wnioskujemy, że punkt $O$ albo leży poza odcinkami $KL$ i $MN$ , albo też znajduje się na każdym z tych odcinków. Rozpatrzymy pierwszy z tych przypadków; drugi jest analogiczny.

Niech $E$ będzie środkiem odcinka $AD$ (rys. 10).
Czworokąt $AKDL$ jest rombem, więc $E$ jest także środkiem odcinka $KL$ .
Stosując dwukrotnie twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

$ \begin{split} OK\cdot OL & = (OE+EK)(OE-EK)=OE^2-EK^2=OE^2-(DK^2-DE^2)= \\ & =OE^2+DE^2-DK^2=OD^2-DK^2. \end{split} $

Analogicznie uzyskujemy zależność

$ OM\cdot ON=OC^2-CM^2. $

Na mocy założeń danych w treści zadania mamy $DK=CM=a$ . Ponieważ także $OD=OC$ , więc dochodzimy do wniosku, że

$ (4) \qquad OK\cdot OL=OD^2-DK^2=OC^2-CM^2=OM\cdot ON. $

Punkt $O$ jest punktem przecięcia prostych zawierających odcinki $KL$
i $MN$ oraz leży poza każdym z tych odcinków. To wraz
z równością (4) dowodzi, że punkty $K$ , $L$ , $M$ , $N$
leżą na jednym okręgu.