XXIV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają warunki:

$<br /> |x_i|=1 \quad (i = \, 2, \ldots, n),<br />$

$<br /> x_1x_2+ x_2x_3 + \ldots +x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0.<br />$

Udowodnić, że liczba $n$ jest podzielna przez 4.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że liczby $x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_{n-1}x_n,x_nx_1$ są równe $1$ lub $-1$ . Ponieważ ich suma jest równa zeru, więc $k$ z tych liczb jest równych $1$ i $k$ jest równych $-1$ . Zatem $n = 2k$ . Iloczyn tych liczb równy jest $(-1)^k = x_1x_2 \cdot x_2x_3 \ldots x_{n-1}x_n \cdot x_nx_1 = (x_1x_2 \ldots x_n)^2 = 1$ . Zatem $k$ jest liczbą parzystą, $k = 2s$ i stąd $n = 4s$ .