XXIV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną $n > 1$ o następującej własności: istnieje taki zbiór $Z$ złożony z $n$ punktów płaszczyzny, że każda prosta $AB$ ( $A, B\in Z$ ) jest równoległa do pewnej innej prostej $CD$ ( $C, D \in Z$ ).

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw, że zbiór $Z$ wierzchołków pięciokąta foremnego ma własność podaną w zadaniu, a więc że $n \leq 5$ . Wykażemy ze każdy bok pięciokąta foremnego jest równoległy do pewnej przekątnej i na odwrót każda przekątna jest równoległa do odpowiedniego boku.

Wystarczy udowodnić, że $AB \parallel CE$ (rys. 11). Ponieważ na czworokącie $ABCE$ można opisać koło (mianowicie jest to koło opisane na danym pięciokącie foremnym), więc $\measuredangle A + \measuredangle BCE = \pi$ . Ponieważ $\measuredangle A = \measuredangle B$ , więc wynika stąd, że $\measuredangle BCE = \pi - \measuredangle B$ , co dowodzi, że $AB \parallel CE$ .

Z drugiej strony z warunków zadania wynika, że $n \geq 4$ , ponieważ są co najmniej dwie różne proste równoległe, każda z których zawiera co najmniej dwa punkty zbioru $Z$ . Gdyby $n = 4$ i punkty $A, B, C, D$ spełniały warunki zadania, to byłyby one wierzchołkami trapezu. Żadna z przekątnych trapezu nie jest jednak równoległa do innej prostej wyznaczonej przez jego wierzchołki. Zatem $n > 4$ , a więc z udowodnionej wcześniej nierówności $n \leq 5$ wynika, ze $n = 5$ .