XXIV OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

W klasie, w której jest n uczniów, urządzono mikołajki. Każdy uczeń losuje nazwisko osoby, której ma kupić prezent, zatem uczeń $A_1$ kupuje prezent uczniowi $A_2$ , $A_2$ kupuje prezent $A_3$ , ..., $A_k$ kupuje prezent $A_1$ , gdzie $1 \leq k \leq n$ . Zakładając, że wszystkie wyniki losowań są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $k = n$ .

Rozwiązanie

W wyniku dowolnego losowania każdy uczeń wylosowuje pewnego ucznia tej samej klasy (być może siebie samego) i różni uczniowie wylosowują rożnych uczniów. Zatem wynik każdego losowania określa pewne wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (permutację) zbioru wszystkich uczniów tej klasy na siebie. Na odwrót, każda permutacja może być wynikiem pewnego losowania. Wobec tego liczba zdarzeń elementarnych równa jest liczbie permutacji zbioru $n$ -elementowego, czyli $n!$ .

Zdarzenie sprzyjające będzie wtedy, gdy pewien uczeń $A_1$ wylosuje jednego z pozostałych $n- 1$ uczniów, którego oznaczymy przez $A_2$ ; uczeń $A_2$ wylosuje jednego z $n-2$ uczniów różnych od $A_1$ i $A_2$ , oznaczymy go przez $A_3$ ; $\ldots$ ; wreszcie uczeń $A_{n-1}$ wylosuje ucznia $A_n$ różnego od $A_1, A_2 \ldots, A_{n-1}$ . Ponieważ uczeń $A_1$ może wylosować ucznia różnego od siebie na $n-1$ sposobów, uczeń $A_2$ może wylosować ucznia różnego od $A_1$ i $A_2$ na $n-2$ sposoby itd., więc liczba zdarzeń sprzyjających jest równa $(n-1)(n-2) \ldots 2 \cdot 1 = (n-1)!$ .

Zatem prawdopodobieństwo tego, że $k = n$ , wynosi $\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ .