XXIV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie $x, y, z$ spełniają nierówność

$ \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz} + \frac{z^2+x^2-y^2}{2xz} > 1, $

to są one długościami boków pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

\spos{1} Jak wiadomo, liczby dodatnie $x$ , $y$ , $z$ są długościami boków pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich jest mniejsza od sumy dwóch pozostałych, tzn. gdy

$ (1) \qquad x < y + z,\ y < x + z \ \textrm{oraz}\ z < x + y. $

Przypuśćmy, że warunek ten nie jest spełniony, tzn. że jedna z liczb $x, y, z$ jest nie mniejsza od sumy liczb pozostałych. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że

$ (2) \qquad z \geq x + y. $

Wobec tego

$ (3) \qquad z - x \geq y \ \textrm{oraz} \ z - y \geq x. $

Dodając do pierwszego składnika lewej strony nierówności danej w zadaniu liczbę $1$ , a do każdego z dwóch pozostałych składników - liczbę $-1$ otrzymamy nierówność równoważną