XXIV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

W kwadracie danych jest dziewięć punktów, z których, żadne trzy nie są współliniowe. Dowieść, że trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o polu nie przekraczającym $\frac{1}{8}$ pola kwadratu.

Rozwiązanie

Udowodnijmy najpierw

Lemat. Jeżeli trójkąt $ABC$ jest zawarty w pewnym prostokącie, to pole trójkąta jest nie większe od połowy pola tego prostokąta.

Dowód. Oznaczmy przez $A'$ , $B'$ , $C'$ odpowiednio rzuty wierzchołków trójkąta $ABC$ na jeden z boków prostokąta $PQRS$ zawierającego ten trójkąt (rys. 14). Niech np. $B' \in \overline{A'C'}$ i niech $D$ będzie punktem przecięcia prostej $AC$ z prostą prostopadłą do $PQ$ zawierającą punkt $B'$ .

Trójkąt $ABC$ jest sumą trójkątów $ABD$ i $CBD$ (jeden z nich może być zdegenerowany do odcinka, gdy $A' = B'$ lub $B' = C'$ ). Zatem $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD} = \displaystyle \frac{1}{2} A'B' \cdot BD + \frac{1}{2} B'C' \cdot BD = \frac{1}{2} A'C' \cdot BD$ .

Ponieważ $A'C' \leq PQ$ oraz $BD \leq QR$ , więc wynika stąd, że

$<br /> S_{ABC} \leq \frac{1}{2} PQ \cdot QR.<br />$

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Dzielimy dany kwadrat prostymi równoległymi do boków na cztery przystające kwadraty (lub cztery przystające prostokąty) - rys. 15. Pole takiego kwadratu (prostokąta) jest równe $\displaystyle \frac{1}{4}$ pola danego kwadratu. Z danych dziewięciu punktów co najmniej trzy należą do jednego z otrzymanych kwadratów (prostokątów). Pole trójkąta o wierzchołkach w tych punktach jest więc na mocy lematu nie większe od $\displaystyle \frac{1}{8}$ pola danego kwadratu.

Uwaga. W podobny sposób można wykazać, że teza zadania pozostanie prawdziwa, jeżeli liczby $9$ i $\displaystyle \frac{1}{8}$ zastąpić odpowiednio liczbami $2n+1$ i $\displaystyle \frac{1}{2n}$ . Wystarczy wtedy rozpatrzyć podział kwadratu prostymi równoległymi do boków na $n$ przystających prostokątów.