XXIV OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Niech $x_n = (p + \sqrt{q})^n - [(p + \sqrt{q})^n]$ dla $n = 1, 2, 3, \ldots$ . Dowieść, że jeżeli $p$ , $q$ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunek $p - 1 < \sqrt{q} < p$ , to $\lim_{n\to \infty} x_n = 1$ .
Uwaga. Symbol $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw

Lemat. Jeżeli $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi, to liczba

$ (1) \qquad a_n = (p + \sqrt{q})^n +(p- \sqrt{q})^n $

jest całkowita dla $n = 0, 1, 2, \ldots$ .

Dowód. Korzystając ze wzoru dwumianowego otrzymujemy

$ \begin{split} a_n &= \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^{n-i} (\sqrt{q})^i + \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^{n-i} (-\sqrt{q})^i =\\ &=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} p^{n-i} ((\sqrt{q})^i + (-\sqrt{q})^i). \end{split} $

Jeżeli liczba $i$ jest parzysta, $i = 2m$ , to $(\sqrt{q})^i + (-\sqrt{q})^i = 2q^m$ Jeżeli zaś liczba $i$ jest nieparzysta, to $(\sqrt{q})^i + (-\sqrt{q})^i =(\sqrt{q})^i - (\sqrt{q})^i = 0$ . Zatem

$ a_n = \sum_{0 \leq m \leq \frac{n}{2}} \binom{n}{2m} p^{n-2m} \cdot 2q^m. $

Wynika stąd, że liczba $a_n$ jest całkowita.