XXIV OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ mamy $AB = CD$ , $AC = BD$ , $AD = BC$ , to wszystkie ściany czworościanu są trójkątami ostrokątnymi.

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw

Lemat. Niech $\alpha, \beta, \gamma$ będą liczbami z przedziału $(0; \pi)$ . Istnieje kąt trójścienny, którego kąty płaskie mają miary równe $\alpha, \beta,\gamma$ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z liczb $\alpha, \beta,\gamma$ jest mniejsza od sumy dwóch pozostałych.

Dowód. Bez zmniejszenia ogólności możemy przyjąć, że $\alpha \geq \beta \geq \gamma$ . Wtedy oczywiście $\beta < \alpha + \gamma$ i $\gamma < \alpha + \beta$ . Mamy więc udowodnić, że istnieje kąt trójścienny, którego kąty płaskie mają miary równe $\alpha, \beta,\gamma$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha < \beta + \gamma$ .

Niech $t$ będzie półprostą o początku w punkcie $P$ . Półproste o początku w punkcie $P$ tworzące z $t$ kąt o danej mierze $\mu$ są tworzącymi stożka obrotowego o wierzchołku w punkcie $P$ , osi $t$ i kącie przy wierzchołku o mierze $2\mu$ . Na odwrót każda tworząca tego stożka tworzy kąt o mierze $\mu$ z półprostą $t$ (rys. 16).

Niech półproste $k$ i $m$ zawarte w płaszczyźnie $\pi$ mają początek w punkcie $O$ i tworzą kąt o mierze $\alpha$ (rys. 17). Rozważmy stożek obrotowy $S_1$ o wierzchołku w punkcie $O$ , osi $k$ i kącie przy wierzchołku o mierze $2\beta$ oraz stożek obrotowy $S_2$ o wierzchołku w punkcie $O$ , osi $m$ i kącie przy wierzchołku o mierze $2 \gamma$ . Częścią wspólną powierzchni tych stożków jest albo punkt $O$ (gdy $\beta +\gamma < \alpha$ ), albo pewna półprosta zawarta w płaszczyźnie $\pi$ (gdy $\beta +\gamma = \alpha$ ), albo para półprostych $p_1$ , $p_2$ , z których żadna nie jest zawarta w płaszczyźnie $\pi$ (gdy $\beta +\gamma > \alpha$ ). W tym ostatnim przypadku półproste $k$ , $m$ , $p_1$ wyznaczają kąt trójścienny, którego kąty płaskie przy wierzchołku mają miary równe $\alpha, \beta, \gamma$ . Jeżeli zaś $\alpha \geq \beta + \gamma$ , to taki kąt trójścienny nie istnieje, ponieważ odpowiednie stożki nie mają w tym przypadku wspólnej tworzącej nie zawartej w płaszczyźnie $\pi$ .

Przystępujemy teraz do rozwiązania zadania. Z równości podanych w treści zadania wynika, że każde dwie ściany czworościanu $ABCD$ mają po trzy krawędzie odpowiednio równe (rys. 18). Są więc trójkątami przystającymi. Stąd w szczególności

$<br /> \measuredangle BAC = \measuredangle BDC,\ \measuredangle ABC = \measuredangle ADC,\ \measuredangle ACB = \measuredangle ADB.<br />$

Ponieważ suma miar kątów trójkąta $ABC$ równa jest $\pi$ , więc wynika stąd, że suma miar kątów płaskich przy wierzchołku $D$ jest równa $\pi$ . Zatem na mocy lematu