LVIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

Liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ spełniają warunek

$ {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}=4. $

Wykazać, że

$ \root{\scriptstyle 3}\of{{a^3+b^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{b^3+c^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{c^3+d^3\over 2}} +\root{\scriptstyle 3}\of{{d^3+a^3\over 2}} \le 2(a+b+c+d)-4. $

Rozwiązanie

Wykażemy, że dla dowolnych liczb dodatnich $x$ , $y$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad \root{\scriptstyle 3}\of{{x^3+y^3\over 2}} \le{x^2+y^2\over x+y}. $

Rzeczywiście, przekształcając równoważnie powyższą nierówność mamy

$ \begin{split} (x^3+y^3)(x+y)^3 & \le 2(x^2+y^2)^3, \\ (x^3+y^3)(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) & \le 2x^6+6x^4y^2+6x^2y^4+2y^6, \\ 3x^5y+2x^3y^3+3xy^5 & \le x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6, \\ 0 & \le (x^3-y^3)^2-3xy(x-y)(x^3-y^3), \\ 0 & \le (x^3-y^3)(x-y)^3. \end{split} $

Ostatnia nierówność jest spełniona, gdyż liczby $x-y$ oraz $x^3-y^3$ mają jednakowy znak.

Korzystając z zależności (1) widzimy, że zadanie będzie rozwiązane, jeżeli udowodnimy nierówność

$ {a^2+b^2\over a+b}+{b^2+c^2\over b+c}+ {c^2+d^2\over c+d}+{d^2+a^2\over d+a}\le 2(a+b+c+d)-4. $

Lewa strona powyższej nierówności jest równa

$ 2(a+b+c+d)-{2ab\over a+b}-{2bc\over b+c}-{2cd\over c+d} -{2da\over d+a}. $

Aby dokończyć rozwiązanie, wystarczy zatem dowieść, że

$ (2) \qquad {2ab\over a+b}+{2bc\over b+c}+{2cd\over c+d} +{2da\over d+a}\ge 4. $

Jednakże na mocy łatwej do sprawdzenia nierówności $\displaystyle{x+y\ge{4\over{1\over x}+{1\over y}}}$ mamy

$ \begin{split} {2ab\over a+b}+{2cd\over c+d} & \ge {8\over\di{a+b\over ab}+{c+d\over cd}}= {8\over\di{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}}=2, \\ {2bc\over b+c}+{2da\over d+a} & \ge {8\over\di{b+c\over bc}+{d+a\over da}}= {8\over\di{1\over b}+{1\over c}+{1\over d}+{1\over a}}=2. \end{split} $

To uzasadnia nierówność (2), do której wcześniej został sprowadzony dowód tezy zadania.

Uwaga: Po zakończeniu zawodów wielu uczestników skarżyło się, że
rozwiązanie zadania wymaga wymyślenia nierówności (1),
a jej zgadnięcie jest niemal niewykonalne.

Okazuje się jednak, że nierówność ta ujawnia
się w naturalny sposób. Aby się o tym przekonać,
wystarczy spróbować rozwiązać zadanie przy
dodatkowym założeniu, że $a=c$ oraz $b=d$ .
Wówczas dany w treści zadania warunek
można przepisać jako

$ {1\over a}+{1\over b}=2, $

natomiast nierówność do udowodnienia przyjmuje postać

$ \root{\scriptstyle 3}\of{{a^3+b^3\over 2}} \le a+b-1=a+b-{2\over{1\over a}+{1\over b}}= a+b-{2ab\over a+b}={a^2+b^2\over a+b}. $

Stąd pomysł, by spróbować ten szczególny
przypadek udowodnić oddzielnie (skoro
występują w nim tylko dwie niewiadome),
a następnie wykorzystać go do rozwiązania
w przypadku ogólnym.