XXIV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

III

Udowodnić, że każdy wielomian jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

Rozwiązanie

Niech $F(x)$ będzie funkcją pierwotną dla funkcji $\displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 + f'(x) + 1)$ spełniającą warunek $F(0) = f(0)$ i niech
$G(x)$ będzie funkcją pierwotną dla funkcji $\displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 - f'(x) + 1)$ spełniającą warunek $G(0) = 0$ .

Oczywiście $F$ i $G$ są wielomianami. Są to wielomiany rosnące, ponieważ $F'(x)= \displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 + f'(x) + 1) > 0$ i $G' (x) = \displaystyle \frac{1}{2} (f'(x)^2 - f'(x) + 1) > 0$ . Wielomiany $t^2 + t + 1$ i $t^2 - t + 1$ przybierają bowiem tylko wartości dodatnie.

Ponadto $(F - G)' = F' - G' = f'$ . Zatem $F(x) - G(x) = f(x) + C$ , gdzie $C$ jest pewną stałą. Porównując wartości obu stron tej równości w punkcie $x = 0$ otrzymujemy, że $C = 0$ . Zatem $F - G = f$ .