XXIV OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

III

Niech $p_n$ będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu $n$ rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Dowieść, że ciąg liczb $p_n$ jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

Rozwiązanie

Liczba zdarzeń elementarnych jest równa liczbie ciągów $n$ -elementowych o dwóch wartościach: orzeł i reszka, tzn. liczbie $2^n$ . Zdarzeniem sprzyjającym jest ciąg zawierający $100$ kolejnych orłów. Oszacujemy z góry liczbę zdarzeń niesprzyjających, tzn. liczbę ciągów nie zawierających stu kolejnych orłów.

Niech $n= 100 k + r$ , gdzie $k \geq 0$ i $0 \leq r < 100$ . Każdy ciąg $n$ -elementowy składa się więc z $k$ ciągów $100$ -elementowych i ciągu $r$ -elementowego. Wszystkich ciągów $100$ -elementowych o dwóch wartościach jest $2^{100}$ ; zatem po wyłączeniu ciągu złożonego ze stu orłów pozostanie $2^{100} - 1$ ciągów $100$ -elementowych. Każdy ciąg $n$ -elementowy nie zawierający stu kolejnych orłów składa się więc z $k$ takich ciągów $100$ -elementowych i z pewnego ciągu $r$ -elementowego. Stąd liczba zdarzeń niesprzyjających jest nie większa od $(2^{100} - 1)^k \cdot 2^r$ . Wobec tego

$<br /> (1) \qquad 1 \geq p_n \geq 1 - \frac{(2^{100} - 1)^k \cdot 2^r}{2^{100k+r}} =<br /> 1 - \left( 1 - \frac{1}{2^{100}} \right)^k.<br />$

Jeżeli $n$ dąży do nieskończoności, to oczywiście również $k$ dąży do nieskończoności. Ponieważ dla $0 < q < 1$ mamy $\displaystyle \lim_{k \to \infty} q^k = 0$ , więc $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{2^{100}} \right)^k = 0$ . Zatem z (1) na mocy twierdzenia o trzech ciągach wynika, że $\displaystyle \lim_{k \to \infty} q^k = 0$ , więc $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = 1$ .