XXIV OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

III

Wielościan $W$ ma następujące własności:
a) posiada środek symetrii,
b) część wspólna wielościanu W z dowolną płaszczyzną zawierającą środek symetrii i którąkolwiek krawędź wielościanu jest równoległobokiem,
c) istnieje wierzchołek wielościanu $W$ , który należy do dokładnie trzech krawędzi.
Dowieść, że wielościan $W$ jest równoległościanem.

Rozwiązanie

Wielościanem nazywamy taki ograniczony zbiór punktów przestrzeni, który nie jest zawarty w jednej płaszczyźnie i jest częścią wspólną skończonej liczby półprzestrzeni. Ponieważ półprzestrzeń jest zbiorem wypukłym, a część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc każdy wielościan jest zbiorem wypukłym. (Przyjmowane też są inne definicje wielościanu. Z pewnych spośród nich nie wynika, że wielościan jest zbiorem wypukłym).

Z wypukłości wielościanu wynika w szczególności, że jeżeli dwa jego wierzchołki $P$ , $Q$ oba należą do pewnych dwóch ścian wielościanu, to $\overline{PQ}$ jest jego krawędzią. Odcinek $\overline{PQ}$ jest bowiem zawarty w każdej z tych ścian, a więc i w ich części wspólnej.

Niech wierzchołek $A_0$ wielościanu $W$ należy do dokładnie trzech jego krawędzi $\overline{A_0A_1}$ , $\overline{A_0A_2}$ i $\overline{A_0A_3}$ . Ponieważ wielościan $W$ ma środek symetrii, więc wierzchołek $A_0'$ symetryczny do $A_0$ też należy do dokładnie trzech krawędzi $\overline{A'_0A'_1}$ , $\overline{A'_0A'_2}$ i $\overline{A'_0A'_3}$ , gdzie punkt $A'_i$ jest symetryczny do $A-i$ dla $i = 1, 2, 3$ . Niech $\pi_i$ będzie płaszczyzną zawierającą środek symetrii wielościanu $W$ i krawędź $A_0A_i$ , gdzie $i = 1, 2, 3$ . Zawiera więc ona również krawędź $\overline{A'_0A'_i}$ i z warunków zadania wynika, że $W \cap \pi_i$ jest czworokątem. Jest to oczywiście czworokąt $A_0A_iA'_0A'_i$ .

Dla $j \ne k, j$ , $k \in \{1, 2, 3\}$ niech $S_{jk}$ będzie ścianą wielościanu $W$ zawierającą wierzchołki $A_0$ , $A_j$ , $A_k$ i $S'_{jk}$ - ścianą do niej symetryczną. Jeżeli liczby $j$ i $k$ są różne od $i$ oraz należą do zbioru $\{1,2, 3\}$ , to płaszczyzna $\pi_i$ przecina ścianę $S_{jk}$ . Ponieważ $\pi_i \cap W$ jest czworokątem $A_0A_iA'_0A'_i$ oraz $A_0 \in S_{jk}$ , $A'_0 \not \in S_{jk}$ , i $A_i \not \in S_{jk}$ , więc $A'_i \in S_{jk}$ . Analogicznie stwierdzamy, że $A_i \in S'_{jk}$ .

Jeżeli liczby $i$ , $j$ , $k$ są różne i należą do zbioru $\{1, 2, 3\}$ , to, jak wykazaliśmy, $A_i, A'_j \in S'_{jk}$ oraz $A_i, A'_j \in S_{ik}$ . Zatem na podstawie początkowej uwagi otrzymujemy, że $\overline{A_iA'_j}$ jest krawędzią wielościanu $W$ dla $i \ne j$ . Wobec tego każdy czworokąt $A_0A_iA'_jA_k$ oraz $A'_0A'_iA_jA'_k$ jest ścianą wielościanu $W$ . Zatem $W$ ma sześć ścian i są one czworokątami. Ściany te są parami równoległe, ponieważ wielościan $W$ ma środek symetrii. Wielościan $W$ jest więc równoległościanem.

Uwaga 1. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, ze część wspólna wielościanu $W$ i dowolnej płaszczyzny zawierającej środek symetrii i krawędź wielościanu jest równoległobokiem. Wystarczyłoby zakładać, że ta część wspólna jest czworokątem.

Uwaga 2. Istnieją bryły niewypukłe, które są sumami wielościanów, posiadają środek symetrii i których każdy przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środek symetrii i krawędź jest równoległobokiem. Na przykład niech w sześcianie o podstawach $ABCD$ i $A'B'C'D'$ środkami ścian $ABB'A'$ , $BCC'B'$ , $CDD'C'$ , $DAA'D'$ będą odpowiednio punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ . Odejmując od tego sześcianu czworościany $AA'PS$ , $BB'PQ$ , $CC'QR$ i $DD'RS$ otrzymamy bryłę, która jest sumą wielościanów. Można sprawdzić, że bryła ta spełnia warunki a) i b) zadania. Nie jest ona jednak równoległościanem.