XXIV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIV OM, 1972-1973

Etap:

III

Na prostej dany jest układ odcinków o łącznej długości $< 1$ . Dowieść, że dowolny układ $n$ punktów prostej można przesunąć na niej o wektor długości $\leq \frac{n}{2}$ tak, aby po przesunięciu żaden z punktów nie leżał na żadnym z danych odcinków.

Rozwiązanie

Niech $P_i$ , gdzie $i = 1, 2, \ldots, n$ , będą danymi punktami i niech $A$ będzie sumą danych odcinków o łącznej długości mniejszej od $1$ . Dla $i = 1, 2, \ldots, n$ niech $I_i$ będzie odcinkiem długości $n$ , którego środkiem jest punkt $P_i$ .

Oczywiście $A \cap I_i$ , jest sumą odcinków o łącznej długości mniejszej od $1$ . Niech $\varphi_i$ będzie przesunięciem o wektor $\overrightarrow{P_iP_1}$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ . Ponieważ przesunięcie zachowuje długość odcinka oraz $\varphi_i(I_i) = I_1$ , więc zbiór

$<br /> I = \cup_{i=1}^n \varphi_i (A \cap I_i)<br />$

jest sumą odcinków o łącznej długości mniejszej od $n$ zawartych w $I_i$ . Jak wiemy, $I_1$ ma długość $n$ . Istnieje zatem punkt $Q$ należący do $I_1 - I$ .

Wykażemy, że przesunięcie $\varphi$ o wektor $\overrightarrow{P_1Q}$ spełnia warunki zadania. Ponieważ $Q \in I_1, P_1$ jest środkiem odcinka $I_1$ oraz długość $l_1$ równa jest $n$ , więc $P_1Q \leq \displaystyle \frac{n}{2}$ . Wobec tego dla każdego $i =1,2, \ldots, n$ mamy $\varphi (P_i) \in I_i$ .

Gdyby dla pewnego $i$ było $\varphi_ (P_i) \in A$ , to wobec $\varphi (P_i) \in I_i$ mielibyśmy $\varphi (P_i) \in A \cap I_i$ . Stąd

$<br /> (1) \qquad \varphi_i \varphi (P_i) \in \varphi_i (A \cap I_i) \subset I.<br />$

Przekształcenie $\varphi_i \varphi$ jest przesunięciem o wektor $\overrightarrow P_1Q + \overrightarrow{P_iP_1} = \overrightarrow{P_iQ}$ . Zatem $\varphi_i \varphi(P_i) = Q$ . Z (1) wynika więc, że $Q \in I$ . Przeczy to określeniu punktu $Q$ .

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że dla każdego $i = 1, 2, \ldots, n$ mamy $\varphi(P_i) \not \in A$ .