LVIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LVIII OM, 2006-2007

Etap:

III

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego, odcinek $CD$ jest wysokością, punkt $E$ leży na boku $AB$ , a punkt $M$ jest środkiem odcinka $CE$ . Prosta prostopadła do prostej $OM$ i przechodząca przez punkt $M$ przecina proste $AC$ , $BC$ odpowiednio w punktach $K$ , $L$ . Dowieść, że

$ {LM\over MK}={AD\over DB}. $

Rozwiązanie

Poprowadźmy przez punkt $M$ prostą równoległą do boku $AB$ , która przecina odcinki $AC$ i $BC$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ (rys. 12). Wówczas punkty $P$ i $Q$ są odpowiednio środkami boków $AC$ i $BC$ . Ponieważ punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , więc $\measuredangle APO=90^\circ$ . Ponadto $\measuredangle KMO=90^\circ$ . Stąd wynika, że punkty $K$ , $P$ , $M$ , $O$ leżą na jednym okręgu, którego średnicą jest odcinek $KO$ . Wobec tego $\measuredangle OKM=\measuredangle OPM$ .

Analogicznie dowodzimy, że $\measuredangle OLM=\measuredangle OQM$ . Z równości tych wynika, że trójkąty $OKL$ i $OPQ$ są podobne. Oznaczając zatem przez $S$ rzut prostokątny punktu $O$ na prostą $PQ$ uzyskujemy

$ (1) \qquad {LM\over MK}={QS\over SP}\,. $

Oznaczmy przez $X$ środek odcinka $OC$ oraz niech $Y$ , $R$
będą odpowiednio rzutami prostokątnymi punktów
$X$ i $C$ na prostą $PQ$
(rys. 13). Ponieważ
$\measuredangle OPC=\measuredangle OQC=90^\circ$ , więc
punkty $C$ , $P$ , $O$ , $Q$ leżą na jednym okręgu,
którego środkiem jest punkt $X$ . Zatem $PX=XQ$ ,
a więc $PY=YQ$ . Ponadto punkt $X$ jest środkiem odcinka
$OC$ , więc $RY=YS$ . Stąd uzyskujemy $PR=QS$ .
Wobec tego

$ (2) \qquad {QS\over SP}={PR\over RQ}={AD\over DB}\,. $

Łącząc równości (1) i (2) uzyskujemy tezę.

Uwaga: Po otrzymaniu zależności (1) można w nieco inny sposób
dokończyć rozwiązanie zadania.
Niech mianowicie $T$ będzie środkiem odcinka $AB$ oraz niech
$G$ oznacza środek ciężkości trójkąta
$ABC$ (rys. 14).

Wówczas punkt $G$ dzieli każdą ze środkowych $AQ$ , $BP$ , $CT$
trójkąta $ABC$ w stosunku $2:1$ . Zatem jednokładność $j$
o środku w punkcie $G$ i skali $-1/2$ przeprowadza punkty
$A$ , $B$ , $C$ odpowiednio na punkty $Q$ , $P$ , $T$ .

Z drugiej strony, prosta przechodząca przez punkt $O$
i prostopadła do prostych $AB$ i $QP$ zawiera
zarówno punkt $S$ (gdyż $S$ jest rzutem prostokątnym
punktu $O$ na prostą $QP$ ), jak i punkt $T$ (rzut
środka okręgu opisanego na trójkącie na bok
tego trójkąta jest bowiem środkiem rozważanego
boku). Innymi słowy, odcinek $TS$ jest wysokością
w trójkącie $QPT$ .

W efekcie jednokładność $j$ przeprowadza spodek $D$
wysokości $CD$ w trójkącie $ABC$ na spodek $S$
wysokości $TS$ w trójkącie $QPT$ . To oznacza, że
$j$ przeprowadza odcinki $AD$ i $DB$ odpowiednio
na odcinki $QS$ i $SP$ . Wynika stąd równość stosunków

$ {AD\over DB}={QS\over SP}, $

która wraz z równością (1) pociąga tezę zadania.