XXIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Narysować wykres funkcji

$ y=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} $

Rozwiązanie

Jeżeli $x \geq 1$ , to $x \pm 2 \sqrt{x-1}= (x - 1) \pm 2 \sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1} \pm 1)^2$ i wobec tego $y = \sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} + + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1|$ .

Widzimy stąd, że funkcja $y$ jest określona dla $x \geq 1$ .

Mamy $\sqrt{x-1} + 1 \geq 0$ dla każdego $x \geq 1$ oraz $\sqrt{x -1} - 1 \geq 0$ dla $x \geq 2$ i $\sqrt{x- 1} \leq 0$ dla $1 \leq x \leq 2$ .

Zatem

$ y = \left\{ \begin{array}{cl} (\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = 2\sqrt{x-1} & \textrm{dla}\ x \geq 2,\\ (\sqrt{x-1} + 1) - (\sqrt{x-1} - 1) = 2 & \textrm{dla}\ 1 \leq x \leq 2. \end{array} \right. $

Wykres funkcji $y$ składa się więc z odcinka o końcach w punktach $(1,2)$ i $(2, 2)$ oraz łuku paraboli o równaniu $y = 2\sqrt{x-1}$ dla $x \geq 2$ (rys. 3).