XXIII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Dla danej liczby pierwszej $p$ wyznaczyć wszystkie takie ułamki nieskracalne $\frac{a}{b}>0$ , że

$ \frac{a+p}{b+p} - \frac{a}{b} = \frac{1}{p^2}. $

Rozwiązanie

Daną równość przekształcamy do postaci

$ p^3 (a - b) + pb + b^2 = 0. $

Ponieważ pierwsze dwa składniki po lewej stronie są podzielne przez $p$ , więc wynika stąd, że $b^2$ jest podzielne przez $p$ , a zatem i $b$ jest podzielne przez $p$ . Podstawiając $b = pc$ do powyższej równości i dzieląc obustronnie przez $p^2$ otrzymujemy

$ p (a - pc) + c + c^2 = 0 $

i stąd

$ (1) \qquad pa = c (p^2 - c - 1). $

Wobec tego $c$ jest dzielnikiem liczby $pa$ , a ponieważ $c$ jest względnie pierwsze z $a$ (zakładaliśmy bowiem, że ułamek $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a}{pc}$ jest nieskracalny), więc $c$ jest dzielnikiem $p$ . Wynika stąd, że $c = \pm 1$ lub $c = \pm p$ .

1) Jeżeli $c = 1$ , to z (1) otrzymujemy $pa = p^2 - 2$ . Zatem $p$ jest dzielnikiem pierwszym liczby $2$ , czyli $p = 2$ . Wtedy $a = 1$ i $b = 2$ .

2) Jeżeli $c = -1$ , to z (1) otrzymujemy $pa = -p^2$ , czyli $a = -p$ i $b = pc = -p$ . Liczby te nie spełniają warunków zadania, ponieważ ułamek $\displaystyle \frac{a}{b}$ nie jest w tym przypadku nieskracalny.