XXIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Udowodnić, że jeżeli $A, B, C$ są kątami trójkąta, zaś $t$ - liczbą rzeczywistą, to

$ \cos A + t (\cos B + \cos C) \leq 1 + \frac{t^2}{2} . $

Rozwiązanie

Ponieważ $A + B + C = \pi$ , więc $\cos A = \cos [\pi - (B + C)] = - \cos (B + C)$ . Zatem

$ \begin{split} t^2 & - 2t(\cos B + \cos C) + 2 (1- \cos A) = \\ & = [t - (\cos B + \cos C)]^2 - (\cos B + \cos C)^2 + 2 [1 + \cos (B + C)] \geq \\ & \geq - \cos^2 B - 2 \cos B \cdot \cos C - \cos^2 C + 2 + 2 \cos B \cdot \cos C - 2 \sin B \cdot \sin C = \\ & = (1 - \cos^2 B) + (1 - \cos^2 C) - 2 \sin B \cdot \sin C = (\sin B - \sin C)^2 \leq 0. \end{split} $

Wynika stąd nierówność podana w zadaniu.