XXIII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Punkty $A$ i $B$ nie należą do płaszczyzny $\pi$ . Znaleźć zbiór wszystkich punktów $M\in \pi$ o tej własności, że proste $AM$ i $BM$ tworzą z płaszczyzną $\pi$ równe kąty.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $A'$ i $B'$ odpowiednio rzuty punktów $A$ i $B$ na
płaszczyznę $\pi$ (rys 4). Jeżeli $A' = B'$ i $AA' = BB'$ , to
szuanym zbiorem punktów jest cała płaszczyzna. Jeżeli $A' = B'$ , ale $AA' \ne BB'$ , to tylko punkt $A'$ spełnia warunki zadania. Jeżeli bowiem $M \ne A$ i $M \in \pi$ , to kąty $\measuredangle AMA'$ i $\measuredangle BMB'$ są ostre. Wtedy $\tg \measuredangle BMB' = \displaystyle \frac{BB'}{MB'} = \frac{BB'}{MA'} \ne \frac{AA'}{MA'} = \tg \measuredangle AMA'$ i wobec tego
rozpatrywane kąty są różne.

Wreszcie, jeżeli $A' \ne B'$ , to warunek sformułowany w zadaniu przybiera postać $\measuredangle (AM, \pi) = \measuredangle (BM, \pi)$ , czyli $\measuredangle AMA' = \measuredangle BMB'$ . Ponieważ oba te kąty są ostre, więc warunek ten jest równoważny następującemu: $\tg \measuredangle AMA' = \tg \measuredangle BMB'$ , czyli $\displaystyle \frac{AA'}{A'M} = \frac{BB'}{B'M}$ . Zatem poszukiwany punkt $M$ winien spełniać warunek $\displaystyle \frac{A'M}{B'M} = \frac{AA'}{BB'}$ .

Inaczej mówiąc, stosunek odległości punktu $M$ od punktów $A'$ i $B'$ winien być stały. Jak wiadomo, jeżeli ten stosunek równy jest $1$ , to miescem geometrycznym punktów $M$ jest symetralna odcinka $A'B'$ , a jeżeli jest on różny od $1$ , to tym miejscem geometrycznym jest okrąg o średnicy wyznaczonej przez punkty dzielące wewnętrznie i zewnętrznie odcinek $\overline{A'B'}$ w tym stosunku. Jest to tzw. okrąg Apoloniusza.