XXIII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Ciąg wielomianów $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots$ jest określony wzorami $P_0(x) = 2$ , $P_1(x) = x$ ,

$ (1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots). $

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $a, b, c$ , że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ (2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dla pewnych liczb $a$ , $b$ , $c$ zachodzi wzór (2). Podstawiając w nim $n = 1$ otrzymujemy $(x^2 - 4)^2 = [ax^2 + bx + 2 (c - a)]^2$ . Porównując współczynniki przy $x^4$ , $x^3$ , $x^2$ w wielomianach stojących po obu stronach ostatniej równości uzyskujemy $a^2 = 1$ , $2ab = 0$ , $b^2 + 4a (c - a) = - 8$ . Wyznaczając kolejno stąd $a$ , $b$ , $c$ otrzymujemy $a = \pm 1$ , $b = 0$ , $c = \mp 1$ . Udowodnimy, że liczby te spełniają warunki zadania, tzn. że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi

$ (3) \qquad (x^2 - 4) [P_n^2 (x) - 4] = [P_{n+1}(x) - P_{n-1} (x)]^2. $

\spos{1} Na mocy (1) wzór (3) można zapisać w postaci

$ (x^2 - 4) [P_n^2(x) - 4] = [x \cdot P_n(x) - 2P^2_{n-1}(x)]^2. $

Wymnażając nawiasy i dokonując redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy stąd następującą równość równoważną (3):

$ (4) \qquad P_n^2 (x) - x \cdot P_n (x) \cdot P_{n-1} (x) + P^2_{n-1}(x) = 4 - x^2. $

Udowodnimy równość (4) za pomocą indukcji. Dla $n = 1$ lewa strona (4) na mocy założenia jest równa $x^2 - x \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 4 - x^2$ . Równość (4) jest więc w tym przypadku prawdziwa.

Załóżmy z kolei, że równość (4) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $n$ . Udowodnimy, że analogiczna równość zachodzi dla liczby $n+1$ , tzn., że

$ (5) \qquad P^2_{n+1} (x) - x \cdot P_{n+1}(x) \cdot P_n(x) + P_n^2(x) =4-x^2 $

Przekształcamy lewą stronę (5) korzystając z (1) i (4):

$ \begin{split} [x \cdot P_n(x)& - P_{n-1} (x)]^2 - x[xP_n (x) - P_{n-1}(x)] \cdot P_n(x) + P_n^2(x) =\\ &= x^2 \cdot P_n^2(x) - 2x \cdot P_n(x) \cdot P_{n-1} (x) + P_{n-1}^2 (x) +\\ &\quad- x^2 \cdot P_n^2(x) + x \cdot P_{n-1}(x) \cdot P_n(x) + P_n^2(x) = \\ & = P_n^2 (x) - x \cdot P_n (x) \cdot P_{n - 1}(x) + P^2_{n-1} (x) = 4 - x^2. \end{split} $

Otrzymaliśmy więc równość (5). Zatem na mocy zasady indukcji równość (4) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $n$ .