XXIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Zbadać, dla jakich cyfr $a$ zapis w układzie dziesiętnym pewnej liczby $\frac{n(n+1)}{2}$ ( $n\in \mathbb{N}$ ) składa się z samych cyfr $a$ .

Rozwiązanie

Oczywiście $a$ nie może być zerem. Gdyby zapis dziesiętny liczby
$\displaystyle t_n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ składał się z $k$ jedynek, gdzie $k \geq 2$ , to $9 t_n = 10^k - 1$ . Stąd po łatwych przekształceniach otrzymujemy $(3n + 1) \cdot (3n + 2) = 2 \cdot 10^k = 2^{k+1} \cdot 5^k$ . Ponieważ kolejne liczby naturalne $3n + 1$ i $3n + 2$ są względnie pierwsze i $2^{k+1} \leq 2^{2k} = 4^k < 5^k$ , więc wynika stąd, że $3n + 1 = 2^{k+1}$ oraz $3n + 2 = 5^k$ . Odejmując te równości stronami otrzymujemy $1 = 5^k - 2^{k+1} > 4^k - 2^{k+1} = 2^k (2^k - 2) \geq 8$ , ponieważ $k \geq 2$ . Uzyskana sprzeczność dowodzi, że $a$ nie może być jedynką.

Zauważmy, że $8 t_n + 1 = (2n + 1)^2$ . Gdyby zapis dziesiętny liczby $t_n$ kończył się cyfrą $2$ , $4$ , $7$ lub $9$ , to zapis liczby $8 t_n + 1$ kończyłby się cyfrą $7$ lub $3$ . Jednak ostatnią cyfrą kwadratu dowolnej liczby naturalnej może być tylko, $0, 1, 4, 5, 6$ lub $9$ . Zatem $a \ne 2, 4, 7, 9$ .

Jeżeli zapis dziesiętny liczby $t_n$ kończy się układem cyfr $33$ lub $88$ , to zapis dziesiętny liczby $8 t_n + 1$ kończy się układem cyfr $65$ lub $05$ . Jednak zapis kwadratu żadnej liczby naturalnej $m$ nie kończy się układem cyfr $65$ lub $05$ . Jednak zapis kwadratu żadnej liczby naturalnej $m$ nie kończy się układem cyfr $65$ lub $05$ . Taka liczba $m$ byłaby bowiem nieparzysta i podzielna przez $5$ , tzn. $m = 10k + 5$ . Wobec tego liczba $m^2 = 100k^2 + 100k + 25$ dawałaby przy dzieleniu przez $100$ resztę $25$ , czyli zapis dziesiętny liczby $m^2$ kończyłby się układem cyfr $25$ . Wobec tego $a \ne 3, 8$ .

Natomiast $a$ może być równe $5$ lub $6$ . Mamy bowiem $t_{10} = 55$ , $t_{11} = 66$ , $r_{36} = 666$ .

Uwaga. Udowodniono, że z liczb $t_n$ dla $n > 3$ tylko liczby $t_{10}$ , $t_{11}$ i $t_{36}$ mają zapis dziesiętny złożony z jednakowych cyfr. Patrz David W. Ballew i Ronald C. Weger w Notices Amer. Math. Soc. 19 (1972), str. A - 511, abstract 72 T - A 152.