XXIII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXIII OM, 1971-1972

Etap:

Łamana zawarta w kwadracie o boku długości 50 ma tę własność, że odległość dowolnego punktu tego kwadratu od niej jest mniejsza od 1 Udowodnić, że długość tej łamanej jest większa od 1248.

Rozwiązanie

Niech łamana $A_1A_2 \ldots A_n$ ma własność podaną w zadaniu. Oznaczmy przez $K_i$ ( $i= 1, 2, \ldots, n$ ) koło o środku w punkcie $A_i$ i o promieniu długości $1$ , a przez $F_i$ ( $i= 1, 2, \ldots, n-1$ ) - figurę ograniczoną odcinkami równoległymi do odcinka $\overline{A_iA_{i+1}}$ i odległymi od
niego o $1$ oraz łukami kół $K_i$ i $K_{i+1}$ (na rys. 5 figura $F_i$ jest zakreskowana).

Zbiór punktów płaszczyzny odległych od pewnego punktu odcinka $\overline{A_i A_{i+1}}$ mniej niż o $1$ jest zawarty w sumie kół $K_i$ i $K_{i+1}$ oraz figury $F_i$ . Z warunków zadania wynika, że dany kwadrat jest zawarty w zbiorze

$<br /> K_1 \cup F_1 \cup K_2 \cup F_2 \cup K_3 \cup \ldots \cup K_{n-1} \cup F_{n-1} \cup K_n = \sum_{i=1}^{n-1} (K_i \cup F_i) \cup K_n.<br />$

Pole figury $K_i \cup F_i$ jest niemniejsze od $2A_iA_{i+1}$ (rys. 5), a pole
koła $K_n$ równe jest $\pi$ . Zatem pole danego kwadratu nie przekracza sumy pól tych figur, tzn.

$<br /> 2500 \leq 2 \sum_{i=1}^{n-1} A_iA_{i+1} + \pi.<br />$

Stąd długość łamanej $\displaystyle = \sum_{i=1}^{n-1} A_iA_{i+1} \geq 1250 - \frac{\pi}{2} > 1248$ .